Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ - Trang Học trực tuyến

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1 trang 13 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a) ${(4 x - 5)}^{2}$ ;

b) ${(3 x + \frac{1}{3} y)}^{2}$ ;

c) ${(- x + 0, 3)}^{2}$ ;

d) ${(- x - 10 y)}^{2}$ ;

e) ${(a^{3} - 3 a)}^{2}$ ;

g) ${(a^{4} + \frac{1}{2} a^{2})}^{2}$ .

Lời giải:

a) ${(4 x - 5)}^{2} = {(4 x)}^{2} - 2.4 x .5 + 5^{2} = 16 x^{2} - 40 x + 25$ ;

b) ${(3 x + \frac{1}{3} y)}^{2} = {(3 x)}^{2} + 2.3 x . \frac{1}{3} y + {(\frac{1}{3} y)}^{2} = 9 x^{2} + 2 x y + \frac{1}{9} y^{2}$ ;

c) ${(- x + 0, 3)}^{2} = {(- x)}^{2} + 2. (- x) .0, 3 + 0, 3^{2} = x^{2} - 0, 6 x + 0, 09$ ;

d) ${(- x - 10 y)}^{2} = {(- x)}^{2} + 2. (- x) . (- 10 y) + {(- 10 y)}^{2} = x^{2} + 20 x y + 100 y^{2}$ ;

e) ${(a^{3} - 3 a)}^{2} = {(a^{3})}^{2} - 2. a^{3} .3 a + {(3 a)}^{2} = a^{6} - 6 a^{4} + 9 a^{2}$ ;

g) ${(a^{4} + \frac{1}{2} a^{2})}^{2} = {(a^{4})}^{2} + 2. a^{4} . \frac{1}{2} a^{2} + {(\frac{1}{2} a^{2})}^{2} = a^{8} + a^{6} + \frac{1}{4} a^{4}$ .

Bài 2 trang 13 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(1 - 4 x) (1 + 4 x)$ ;

b) $(- 2 x - 5 y) (2 x - 5 y)$ ;

c) $(x^{3} - 3 x) (3 x + x^{3})$ ;

d) $(1 + x + x^{2}) (1 + x - x^{2})$ .

Lời giải:

a) $(1 - 4 x) (1 + 4 x) = 1^{2} - {(4 x)}^{2} = 1 - 16 x^{2}$ ;

$(- 2 x - 5 y) (2 x - 5 y) = - (2 x + 5 y) (2 x - 5 y) = - [{(2 x)}^{2} - {(5 y)}^{2}] = - 4 x^{2} + 25 y^{2}$

$(x^{3} - 3 x) (3 x + x^{3}) = (x^{3} - 3 x) (x^{3} + 3 x) = {(x^{3})}^{2} - {(3 x)}^{2} = x^{6} - 9 x^{2}$

$(1 + x + x^{2}) (1 + x - x^{2}) = {(1 + x)}^{2} - {(x^{2})}^{2} = - x^{4} + x^{2} + 2 x + 1$

Bài 3 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Tính nhanh:

a) $50, 5^{2} - 50, 4^{2}$ ;

b) $202.198$ ;

c) $10, 2^{2}$ ;

d) $101^{2} - 202.71 + 71^{2}$ .

Lời giải:

$50, 5^{2} - 50, 4^{2} = (50, 5 - 50, 4) (50, 5 + 50, 4) = 0, 1.100, 9 = 10, 09$

$202.198 = (200 + 2) (200 - 2) = 200^{2} - 2^{2} = 40000 - 4 = 39996$

$10, 2^{2} = {(10 + 0, 2)}^{2} = 10^{2} + 2.10.0, 2 + 0, 2^{2} = 100 + 4 + 0, 04 = 104, 04$

$101^{2} - 202.71 + 71^{2} = 101^{2} - 2.101.71 + 71^{2} = {(101 - 71)}^{2} = 30^{2} = 900$

Bài 4 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) $P = {(x - 10)}^{2} - x (x + 80)$ tại $x = 0, 87$ ;

b) $Q = 4 a^{2} + 8 a b + 4 b^{2}$ tại $a = 65$ và $b = 35$ ;

c) $R = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ tại $x = 101$ .

Lời giải:

a) $P = {(x - 10)}^{2} - x (x + 80) = x^{2} - 2.10. x + 10^{2} - x^{2} - 80 x$

$= (x^{2} - x^{2}) - (20 x + 80 x) + 100 = - 100 x + 100$

Với $x = 0, 87$ ta có: $P = - 100.0, 87 + 100 = - 87 + 100 = 13$

b) $Q = 4 a^{2} + 8 a b + 4 b^{2} = {(2 a)}^{2} + 2.2 a .2 b + {(2 b)}^{2} = {(2 a + 2 b)}^{2}$

Với $a = 65$ và $b = 35$ ta có: $Q = {(2.65 + 2.35)}^{2} = {(130 + 70)}^{2} = 200^{2} = 40000$

c) $R = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = x^{3} - 3. x^{2} .1 + 3. x {.1}^{2} - 1^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Với $x = 101$ ta có: $R = {(101 - 1)}^{3} = 100^{3} = 1000000$

Bài 5 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Đâng cập nhật …

Bài 6 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Biết rằng $x = 2 a + b$ và $y = 2 a - b$ . Tính giá trị các biểu thức sau theo a và b

a) $A = \frac{1}{2} x y$ ;

b) $B = x^{2} + y^{2}$ ;

c) $C = x^{2} - y^{2}$ ;

Lời giải:

a) Với $x = 2 a + b$ và $y = 2 a - b$ ta có:

$A = \frac{1}{2} (2 a + b) (2 a - b) = \frac{1}{2} [{(2 a)}^{2} - b^{2}] = \frac{1}{2} .4 a^{2} - \frac{1}{2} b^{2} = 2 a^{2} - \frac{b^{2}}{2}$

b) Với $x = 2 a + b$ và $y = 2 a - b$ ta có: $B = {(2 a + b)}^{2} + {(2 a - b)}^{2} = 4 a^{2} + 4 a b + b^{2} + 4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$

$= (4 a^{2} + 4 a^{2}) + (4 a b - 4 a b) + (b^{2} + b^{2}) = 8 a^{2} + 2 b^{2}$

c) Với $x = 2 a + b$ và $y = 2 a - b$ ta có:

$C = {(2 a + b)}^{2} - {(2 a - b)}^{2} = 4 a^{2} + 4 a b + b^{2} - (4 a^{2} - 4 a b + b^{2})$

$= 4 a^{2} + 4 a b + b^{2} - 4 a^{2} + 4 a b - b^{2}$

$= (4 a^{2} - 4 a^{2}) + (4 a b + 4 a b) + (b^{2} - b^{2}) = 8 a b$

Bài 7 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) $337^{3} + 163^{3}$ chia hết cho 500;

b) $234^{3} - 123^{3}$ chia hết cho 3;

Lời giải:

$337^{3} + 163^{3} = (337 + 163) (337^{2} - 337.163 + 163^{2}) = 500. (337^{2} - 337.163 + 163^{2}) ⋮ 500$

$234^{3} - 123^{3} = (234 - 123) (234^{2} + 234.123 + 123^{2}) = 111 (234^{2} + 234.123 + 123^{2})$

Vì $111 ⋮ 3$ nên $111 (234^{2} + 234.123 + 123^{2}) ⋮ 3$ . Do đó, $234^{3} - 123^{3}$ chia hết cho 3.

Bài 8 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n

a) ${(2 n + 1)}^{2} - {(2 n - 1)}^{2}$ chia hết cho 8

b) ${(8 n + 4)}^{2} - {(2 n + 1)}^{2}$ chia hết cho 15

Lời giải:

a) Ta có:

${(2 n + 1)}^{2} - {(2 n - 1)}^{2} = (2 n + 1 + 2 n - 1) (2 n + 1 - 2 n + 1) = 4 n .2 = 8 n ⋮ 8$

với mọi số nguyên n.

b) Ta có:

${(8 n + 4)}^{2} - {(2 n + 1)}^{2} = (8 n + 4 + 2 n + 1) (8 n + 4 - 2 n - 1) = (10 n + 5) (6 n + 3)$

$= 15 {(2 n + 1)}^{2} ⋮ 15$ với mọi số nguyên n

Bài 9 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Thay mỗi dấu * bằng một đơn thức thích hợp để nhận được một đồng nhất thức.

a) ${(a + *)}^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}$ ;

b) ${(x - *)}^{2} = x^{2} - 8 a x + 16 a^{2}$ ;

c) ${(* - 5 y)}^{2} = 0, 16 x^{2} - * + 25 y^{2}$ ;

d) ${(3 x - 0, 5 y)}^{2} = 9 x^{2} + 0, 25 y^{2} + *$ .

Lời giải:

Sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức để tìm *:

a) ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

b, c, d) ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Bài 10 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(x^{2} + 4 y^{2}) (x + 2 y) (x - 2 y)$ ;

b) $(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 1)$ .

Lời giải:

$(x^{2} + 4 y^{2}) (x + 2 y) (x - 2 y) = (x^{2} + 4 y^{2}) (x^{2} - 4 y^{2}) = {(x^{2})}^{2} - (4 y$ ²)²=x4−16y4

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 1) = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 1) = (x^{4} - 1) (x^{4} + 1) = x^{8} - 1$

Bài 11 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b$ ;

b) $a^{3} + b^{3} = (a + b) [{(a - b)}^{2} + a b]$ ;

c) $2 (a - b) (a + b) + {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 4 a^{2}$ ;

d) ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$ .

Lời giải:

a) ${(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2}$

$= (a^{2} - a^{2}) + (2 a b + 2 a b) + (b^{2} - b^{2} =) 4 a b$ (đpcm)

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = (a + b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + a b) = (a + b) [{(a - b)}^{2} + a b]$

$2 (a - b) (a + b) + {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 2 (a^{2} - b^{2}) + a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$= (2 a^{2} + a^{2} + a^{2}) + (b^{2} + b^{2} - 2 b^{2}) + (2 a b - 2 a b) = 4 a^{2}$

d) ${(a + b + c)}^{2} = {[(a + b) + c]}^{2} = {(a + b)}^{2} + 2 (a + b) c + c^{2}$ $= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy