Xét hằng đẳng thức x+13=x3+3×2+3x+1. Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, …, n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức S=12+22+32+…+n2

Câu hỏi:

Xét hằng đẳng thức ${\left(x+1\right)}^3=x^3+3x^2+3x+1$. Lần lượt cho x bằng 1, 2, 3, …, n rồi cộng từng vế n đẳng thức trên để tính giá trị của biểu thức $S=1^2+2^2+3^2+\mathrm{\dots }+n^2$

Trả lời:

Từ hằng đẳng thức đã cho, ta có:$2^3={\left(1+1\right)}^3=1^3+{3.1}^2+3.1+1$$3^3={\left(2+1\right)}^3=2^3+{3.2}^2+3.2+1$$4^3={\left(3+1\right)}^3=3^3+{3.3}^2+3.3+1$……………………………..${\left(n+1\right)}^3=n^3+3.n^2+3.n+1$Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được ${\left(n+1\right)}^3=1^3+3\left(1^2+2^2+3^2+\mathrm{\dots }+n^2\right)+3\left(1+2+3+\mathrm{\dots }+n\right)+n$Do đó$3\left(1^2+2^2+3^2+\mathrm{\dots }+n^2\right)={\left(n+1\right)}^3-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}-\left(n+1\right)$$\begin{array}{l}3S=\left(n+1\right)\left[{\left(n+1\right)}^2-\frac{3n}{2}-1\right]\\ 3S=\left(n+1\right)\left(n^2+\frac{n}{2}\right)\\ 3S=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\end{array}$Vậy $S=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4+x3+2×2+x+1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^4+x^3+2x^2+x+1$

   Trả lời:

   Cách 1:$x^4+x^3+2x^2+x+1=x^4+x^3+x^2+x^2+x+1$$\begin{array}{l}=x^2\left(x^2+x+1\right)+\left(x^2+x+1\right)\\ =\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+1\right)\end{array}$Cách 2:$x^4+x^3+2x^2+x+1=\left(x^4+2x^2+1\right)+\left(x^3+x\right)={\left(x^2+1\right)}^2+x\left(x^2+1\right)=\left(x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho a+b+c=0. Rút gọn biểu thức M=a3+b3+c(a2+b2)-abc
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $a+b+c=0$. Rút gọn biểu thức $M=a^3+b^3+c(a^2+b^2)–abc$

   Trả lời:

   $M=a^3+b^3+c\left(a^2+b^2\right)-abc$$\begin{array}{l}=a^3+b^3+a^{2}c+b^{2}c-abc\\ =\left(a^3+a^{2}c\right)+\left(b^3+b^{2}c\right)-abc\\ =a^2\left(a+c\right)+b^2\left(b+c\right)-abc\\ =a^2\left(-b\right)+b^2\left(-a\right)-abc\\ =-ab\left(a+b+c\right)\\ =0\end{array}$Vậy M = 0

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3+b3+c3-3abc
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $a^3+b^3+c^3–3abc$

   Trả lời:

   $a^3+b^3+c^3-3abc={\left(a+b\right)}^3-3a^{2}b-3a{b}^2+c^3-3abc$$\begin{array}{l}=\left[{\left(a+b\right)}^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)\\ =\left(a+b+c\right)\left[{\left(a+b\right)}^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\\ =\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\\ =\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử x−y3+y−z3+z−x3
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${\left(x-y\right)}^3+{\left(y-z\right)}^3+{\left(z-x\right)}^3$

   Trả lời:

   Đặt $a=x-y,b=y-z,c=z-x$ thì $a+b+c=0$. Do đó theo kết quả của câu trên, ta có:$a^3+b^3+c^3-3abc=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow {\left(x-y\right)}^3+{\left(y-z\right)}^3+{\left(z-x\right)}^3=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a+b+c3−a3−b3−c3
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phân tích đa thức sau thành nhân tử ${\left(a+b+c\right)}^3-a^3-b^3-c^3$

   Trả lời:

   Áp dụng nhiều lần công thức ${\left(a+b\right)}^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)$ ta có:${\left(a+b+c\right)}^3-a^3-b^3-c^3$$={\left[\left(a+b\right)+c\right]}^3-a^3-b^3-c^3\begin{array}{l}={\left(a+b\right)}^3+c^3+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-a^3-b^3-c^3\\ =a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-a^3-b^3-c^3\\ =3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\\ =3\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]\\ =3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====