Với các số thực x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3+ y3+ 2xy.

Câu hỏi:

Với các số thực x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x³+ y³+ 2xy.

Trả lời:

Hướng dẫn giảiTa có: x²+ 2xy + y² = (x + y)²= 1²= 1 (1)A = x³+ y³+ 2xy= (x + y)(x²– xy + y²) + 2xy= x²– xy + y²+ 2xy= x²+ xy + y²Suy ra : 2A = 2x²+ 2xy + 2y²= (x + y)²+ x²+ y²= 1 + x²+ y²Lại có: (x – y)²≥ 0 ⇒ x²– 2xy + y²≥ 0 (2)Từ (1) và (2) ⇒ (x²+ 2xy + y²) + (x²– 2xy + y²) ≥ 1⇒ 2(x²+ y²) ≥ 1 \[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 1 \ge \frac{3}{2}\]\[ \Rightarrow 2A \ge \frac{3}{2}\]\[ \Rightarrow A \ge \frac{3}{4}\]Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\]Vậy với \[x = y = \frac{1}{2}\] thì giá trị nhỏ nhất của \[A \ge \frac{3}{4}\].

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:1) A = x2– 5x + 4;2) B = 9×2+ 4y2– 12xy – 4;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:1) A = x²– 5x + 4;2) B = 9x²+ 4y²– 12xy – 4;

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải1) A = x²– 5x + 4 = x²– 4x – x + 4= x(x – 4) – (x – 4)= (x – 4)(x – 1)2) B = 9x²+ 4y²– 12xy – 4= ((3x²) – 2 . 3x . (2y)²) – 4 = (3x – 2y)²– 4 = (3x – 2y – 2)(3x – 2y + 2).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm x sao cho (x + 2)3+ (x – 2)3= 24x + 16.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm x sao cho (x + 2)³+ (x – 2)³= 24x + 16.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải(x + 2)³+ (x – 2)³= 24x + 16⇔ x³+ 6x²+ 12x +8 + x³– 6x²+ 12x – 8 = 24x + 16⇔ 2x³+ 24x = 24x + 16⇔ 2x³= 16 ⇔ x³= 8 ⇔ x = 2Vậy x = 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2+ b2+ c2= ab + bc + ca, chứng minh rằng a = b = c.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a²+ b²+ c²= ab + bc + ca, chứng minh rằng a = b = c.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia²+ b²+ c²= ab + bc + ca⇔ 2(a² + b² + c²) = 2ab+ 2bc + 2ca⇔ 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca⇔ (a² – 2ab + b²) + (b² – 2bc + c²) + (a² – 2ac + c²) =0 ⇔ (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² = 0 Vì (a – b)² ≥ 0 với ∀ a, bVì (b – c)² ≥ 0 với ∀ c, b Vì (a – c)² ≥ 0 với ∀ a, c ⇒ (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² ≥ 0 Để (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² = 0\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a – b = 0\\b – c = 0\\c – a = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\)⇔ a = b = c (đpcm).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC có M, D lần lượt là trung điểm của BC, AC, P là hình chiếu vuông góc của B lên trung trực của AC. Gọi E là giao điểm của MP với AB, F là giao điểm của EM với AC1 Chứng minh: BFCP là hình bình hình.2) Tia DM cắt tia BP tại Q. Chứng minh: DPQF là hình chữ nhật.3) Chứng minh: Tam giác EBP cân
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có M, D lần lượt là trung điểm của BC, AC, P là hình chiếu vuông góc của B lên trung trực của AC. Gọi E là giao điểm của MP với AB, F là giao điểm của EM với AC1 Chứng minh: BFCP là hình bình hình.2) Tia DM cắt tia BP tại Q. Chứng minh: DPQF là hình chữ nhật.3) Chứng minh: Tam giác EBP cân

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải1) Ta có: BP ⊥ d (gt) CF ⊥ d (do d là đường trung trực AC)⇒ BP // CFXét ΔBMP và ΔCMF có:\(\widehat {BMP} = \widehat {FMC}\) (đối đỉnh) BM = MC (gt)\(\widehat {PBM} = \widehat {MCF}\) (so le trong)⇒ ΔBMP = ΔCMF (g.c.g)⇒ PM = MFXét tứ giác BPCF có:PM = MF (cmt)BM = MC (do M là trung điểm BC)⇒ Tứ giác BPCF là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)2) Xét ΔPMQ và ΔFMD có: \(\widehat {PMQ} = \widehat {FMD}\)(cmt)PM = MF (cmt)\(\widehat {MPQ} = \widehat {MFD}\) (do BP // CF, so le trong)⇒ ΔPMQ = ΔFMD (g.c.g)⇒ QM = MD ⇒ M là trung điểm QDXét tứ giác DPQF có M là trung điểm của QD (cmt)M là trung điểm của PF (cmt)⇒Tứ giác DPQF là hình bình hànhLại có: PD ⊥ DF (do d là đường trung trực của AC mà PD thuộc d và DF thuộc AC)Hình bình hành DPQF có một góc vuông ⇒ DPQF là hình chữ nhật3) Ta có: DPQF là hình chữ nhật⇒ PF = QD (2 đường chéo của hình chữ nhật) và PM = QM (=1/2 PF = 1/2 QD)Xét ΔPMQ có PM = QM ⇒ ΔPMQ cân tại M\( \Rightarrow \widehat {MPQ} = \widehat {MQP}\) (1)Tứ giác BPCF là hình bình hành ⇒ BP = CFTứ giác DPQF là hình chữ nhật ⇒ PQ = DFSuy ra BP + PQ = CF + DF ⇒ BQ = DCMà DC = AD (vì D là trung điểm của AC)Xét tứ giác ADQB có AD = BQ và AD//BQ⇒ ADQB là hình bình hành ⇒ AB // QD\( \Rightarrow \widehat {EBP} = \widehat {MQP}\) (so le trong (2)Ta có : \(\widehat {BPE} = \widehat {MPQ}\) (đối đỉnh) (3)Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {BPE} = \widehat {EBP}\)Xét ΔEBP có: \(\widehat {BPE} = \widehat {EBP}\) (cmt) ⇒ ΔEBP cân tại E

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====