Hình thang cân ABCD có 0 là giao điểm của hai đường thắng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.

Câu hỏi:

Hình thang cân ABCD có 0 là giao điểm của hai đường thắng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.

Trả lời:

Ta có: $\angle$(ADC) = $\angle$(BCD) (gt)⇒ $\angle$(ODC) = $\angle$(OCD)⇒$∆$OCD cân tại O⇒ OC = ODOB + BC = OA + ADMà AD = BC (tính chất hình thang cân)⇒ OA = OBXét $∆$ADC và $∆$BCD:AD = BC (tính chất hình thang cân )AC = BD (tính chất hình thang cân)CD chungDo đó $∆$ADC và $∆$BCD (c.c.c)⇒ $\angle D_1$= $\angle C_1$⇒$∆$EDC cân tại E⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CDOC = OD nên O thuộc đường trung trực CDE $\ne$ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực ABOA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của ABE $\ne$ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hình thang cân ABCD có AB //CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng: DH = CK
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hình thang cân ABCD có AB //CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng: DH = CK

   Trả lời:

   Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:$\angle$(AHD) = $\angle$(BKC) = ${90}^0$AD = BC (tính chất hình thang cân)$\angle$C = $\angle$D (gt)Suy ra: $∆$AHD = $∆$BKC (cạnh huyền, góc nhọn)⇒ HD = KC

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.

   Trả lời:

   Xét $∆$ADC và $∆$BCD, ta có:AD = BC (tính chất hình thang cân)$\angle$(ADC) = $\angle$(BCD) (gt)DC chungDo đó: $∆$ADC = $∆$BCD (c.g.c) ⇒ $\angle C_1$= $\angle D_1$Trong $∆$OCD ta có: $\angle C_1$= $\angle D_1$ ⇒ $∆$OCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?

   Trả lời:

   $∆$ABC cân tại A⇒$\angle$B = $\angle$C = (${180}^0$– $\angle$A) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)AB = AC (gt) ⇒ AM + BM = AN + CNMà BM = CN (gt) ⇒ AM = AN⇒ $∆$AMN cân tại A⇒$\angle M_1$ = $\angle N_1$ = (${180}^0$– $\angle$A) / 2 (tính chất tam giác cân) (2)Từ (1) và (2) suy ra: $\angle M_1$ = $\angle$B⇒ MN // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)Tứ giác BCNM là hình thang có $\angle$B = $\angle$CVậy BCNM là hình thang cân.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rang góc ∠A = 400
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rang góc $\angle$A = ${40}^0$

   Trả lời:

   $\angle$B = $\angle$C = (${180}^0$ – ${40}^0$) / 2 = ${70}^0$Mà $\angle M_2$+ $\angle$B = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía nên bù nhau)Suy ra: $\angle M_2$ = ${180}^0$ – $\angle$B = ${180}^0$ – ${70}^0$ = ${110}^0$$\angle N_2$= $\angle M_2$= ${110}^0$ (tính chất hình thang cân)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

   Trả lời:

   +) Do BE và CF lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên ta có:Mà tam giác ABC cân tại A nên $\angle$B = $\angle$CSuy ra: $\angle$ABE = $\angle$ACFXét hai tam giác AEB và AFCCó AB = AC ($∆$ABC cân tại A)$\angle$ABE = $\angle$ACF (chứng minh trên)$\angle$A là góc chung⇒ $∆$AEB = $∆$AFC (g.c.g) ⇒ AE = AF ⇒ $∆$AEF cân tại A⇒ $\angle$AFE = (${180}^0$− $\angle$A) / 2 và trong tam giác $∆$ABC: $\angle$B = (${180}^0$− ∠A) / 2⇒$\angle$AFE = $\angle$B ⇒ FE//BC ( có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.Vì FE//BC nên ta có: $\angle$FEB = $\angle$EBC (so le trong)Lại có: $\angle$FBE = $\angle$EBC ( vì BE là tia phân giác của góc B)⇒$\angle$FBE = $\angle$FEB⇒ $∆$FBE cân ở F ⇒ FB = FE⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====