Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

Câu hỏi:

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

Trả lời:

Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = ADGọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.* Trong $∆$OAB, ta có:OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)* Trong $∆$OCD, ta có:OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)Từ (1) và (2) suy ra:OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)* Trong $∆$ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)* Trong $∆$OBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)Từ (3) và (4) suy ra:OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d* Trong $∆$ABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)* Trong $∆$ADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)Suy ra: 2AC < a + b + c + d* Trong $∆$ABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)* Trong $∆$BCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)Suy ra: 2BD < a + b + c + dTừ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tai mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tai mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài).

   Trả lời:

   Ta có: $\angle A_1+\angle B_1+\angle C_1+\angle D_1={360}^o$ (tổng các góc của tứ giác)+) Lại có: $\angle A_1+\angle A_2={180}^o$ ( hai góc kề bù).$\angle B_1+\angle B_2={180}^o$ (hai góc kề bù)$\angle C_1+\angle C_2={180}^o$ (hai góc kề bù)$\angle D_1+\angle D_2={180}^o$ (hai góc kề bù)Suy ra: $\angle A_1+\angle A_2$ + $\angle B_1+\angle B_2$ + $\angle C_1+\angle C_2$ + $\angle D_1+\angle D_2$ = ${180}^0.4={720}^0$⇒ $\angle A_2+\angle B_2+\angle C_2+\angle D_2={720}^0–\left(\angle A_1+\angle B_1+\angle C_1+\angle D_1\right)$= ${720}^0–{360}^0={360}^0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA. Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA. Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC.

   Trả lời:

   Ta có: BA = BC (gt). Suy ra điểm B thuộc đường trung trực của AC.Lại có: DA = DC (gt). Suy ra điểm D thuộc đường trung trực của AC.Vì B và D là 2 điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA. Cho biết B = 1000, D = 700, tính góc A và góc C.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA. Cho biết B = ${100}^0$, D = ${70}^0$, tính góc A và góc C.

   Trả lời:

   Xét $∆$BAD và $∆$BCD, ta có:BA = BC (gt)DA = DC (gt)BD cạnh chungSuy ra: $∆$BAD = $∆$BCD (c.c.c)⇒ $\angle$(BAD) = $\angle$(BCD)Mặt khác, ta có: $\angle$(BAD) + $\angle$(BCD) + $\angle$(ABC) + $\angle$(ADC) = ${360}^0$Suy ra: $\angle$(BAD) + $\angle$(BCD) = ${360}^0$ – ($\angle$(ABC) + $\angle$(ADC) )2$\angle$(BAD) = ${360}^0–\left({100}^0+{70}^0\right)={190}^{.}$⇒ $\angle$(BAD) = ${190}^0:2={95}^0$⇒ $\angle$(BCD) = $\angle$(BAD) = ${95}^0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác
   
   

   Câu hỏi:
   

   Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác

   Trả lời:

   – Vẽ tam giác ABD      + Vẽ cạnh AD dài 4cm      + Tại A vẽ cung tròn tâm A bán kính 2,5cm      + Tại D vẽ cung tròn tâm D bán kính 3cm      + Hai cung tròn cắt nhau tại B⇒ Ta được tam giác ABD- Vẽ tam giác DBC      + Dùng thước đo độ vẽ tia Bx sao cho góc DBx = ${60}^0$      + Trên Bx xác định C sao cho BC = 3cm⇒ Ta được tam giác BDC⇒Ta được tứ giác ABCD cần vẽ

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tính các góc của tứ giác ABCD, biết rằng: ∠A: ∠B: ∠C: ∠D= 1 : 2 : 3 : 4
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính các góc của tứ giác ABCD, biết rằng: $\angle$A: $\angle$B: $\angle$C: $\angle$D= 1 : 2 : 3 : 4

   Trả lời:

   Theo bài ra, ta có: $\angle$A+ $\angle$B+ $\angle$C+ $\angle$D= ${360}^0$ (tổng các góc của tứ giác)Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:Vậy: $\angle$A= 1.${36}^0$ = ${36}^0$            $\angle$B= 2.${36}^0$ = ${72}^0$      $\angle$C= 3.${36}^0$ = ${108}^0$ ;            $\angle$D= 4.${36}^0$ = ${144}^0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====