Chứng minh rằng nếu n + 1 và 2n + 1 (n ∈ N) đều là số chính phương thì n chia hết cho 24.

Câu hỏi:

Chứng minh rằng nếu n + 1 và 2n + 1 (n ∈ N) đều là số chính phương thì n chia hết cho 24.

Trả lời:

Hướng dẫn giảiVì 2n + 1 là số chính phương. Mà 2n + 1 là số lẻ (do 2n là số chẵn)Suy ra 2n + 1 chia cho 8 dư 1.Do đó n chia hết cho 4.Suy ra n + 1 là số lẻNên n + 1 chia cho 8 dư 1. Vậy n chia hết cho 8. (1)Mặt khác:2n + 1 + n + 1 = 3n + 2 chia cho 3 dư 2. Do đó (n + 1) + (2n + 1) chia cho 3 dư 2.Mà n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương lẻSuy ra n + 1 và 2n + 1 chia cho 3 dư 1.Nên n chia hết cho 3. (2)Từ (1) và (2) suy ra n đều chia hết cho cả 3 và 8.Mà (3; 8) = 1 (3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau)Vậy n chia hết cho 24.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) A = 4×3– 8×2+ 4x; b) B = y2+ x2– 16 – 2xy; c) C = x3– 8 – 3(2 – x).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
   a) A = 4x³– 8x²+ 4x;
   b) B = y²+ x²– 16 – 2xy;
   c) C = x³– 8 – 3(2 – x).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   a) A = 4x³– 8x²+ 4x
   = 4x(x²– 2x + 1)
   = 4x(x – 1)²
   b) B = y²+ x²– 16 – 2xy
   = (y²– 2xy + x²) – 16
   = (y – x)²– 16
   = (y – x – 4)(y – x + 4)
   c) C = x³– 8 – 3(2 – x)
   = (x – 2)(x²+ 2x + 4) + 3(x – 2)
   = (x – 2)(x²+ 2x + 4 + 3)
   = (x – 2)(x²+ 2x + 7).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm x, biết:a) x(5 – 6x) + (2x – 1)(3x + 4) = 6;b) x2(x – 2021) – x + 2021 = 0;c) 2×2– 3x – 5 = 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm x, biết:a) x(5 – 6x) + (2x – 1)(3x + 4) = 6;b) x²(x – 2021) – x + 2021 = 0;c) 2x²– 3x – 5 = 0.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia) x(5 – 6x) + (2x – 1)(3x + 4) = 65x – 6x²+ 6x²+ 5x – 4 – 6 = 010x – 10 = 0x = 1Vậy x = 1.b) x²(x – 2021) – x + 2021 = 0(x – 2021)(x²– 1) = 0(x – 2021)(x – 1)(x + 1) = 0\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 2021 = 0\\x – 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2021\\x = 1\\x = – 1\end{array} \right.\)Vậy x = 1, x = – 1 và x = 2021.c) 2x²– 3x – 5 = 02x²+ 2x – 5x – 5 = 02x(x + 1) – 5(x + 1) = 0(x + 1)(2x – 5) = 0\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\2x – 5 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.\end{array}\)Vậy x = – 1 và \(x = \frac{5}{2}\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hai đa thức A = 8×3+ 2×2– 8x – 5 và đa thức B = 4x + 1.a) Thực hiện phép chia đa thức A cho đa thức B. Xác định đa thức thương M và phần dư N.b) Tìm tất cả các số nguyên x để giá trị của đa thức A chia hết cho giá trị của đa thức B (trên ℤ).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đa thức A = 8x³+ 2x²– 8x – 5 và đa thức B = 4x + 1.a) Thực hiện phép chia đa thức A cho đa thức B. Xác định đa thức thương M và phần dư N.b) Tìm tất cả các số nguyên x để giá trị của đa thức A chia hết cho giá trị của đa thức B (trên ℤ).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia) 8x³+ 2x²– 8x – 54x + 18x³+ 2x²2x²– 2– 8x – 5– 8x – 2–3Vậy thương M = 2x²– 2 và phần dư N = – 3.b) Để A ⋮ B ⇔ – 3 ⋮ (4x + 1)⇔ (4x + 1) ∈ Ư(3) = {– 3; – 1; 1; 3}⇔ x ∈ {– 11; – 3; 5; 13}Vậy để A ⋮ B thì các số nguyên x ∈ {– 11; – 3; 5; 13}.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB (E ∈ AB); kẻ HF vuông góc với AC (F ∈ AC).a) Chứng minh: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.b) Gọi P là điểm đối xứng của H qua AB. Tứ giác APEF là hình gì? Vì sao?c) Đường thẳng đi qua C và song song với BP, cắt tia PA tại Q. Chứng minh: Q đối xứng với H qua F.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB (E ∈ AB); kẻ HF vuông góc với AC (F ∈ AC).a) Chứng minh: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.b) Gọi P là điểm đối xứng của H qua AB. Tứ giác APEF là hình gì? Vì sao?c) Đường thẳng đi qua C và song song với BP, cắt tia PA tại Q. Chứng minh: Q đối xứng với H qua F.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia) Tứ giác AEHF có:\(\widehat A = 90^\circ \) (tam giác ABC vuông tại A)HE ⊥ AB ⇒ \(\widehat {AEH} = 90^\circ \)HF ⊥ AC ⇒ \(\widehat {AFH} = 90^\circ \)⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)b) Hình chữ nhật AEHF có:EH // AF và EH = AFLại có: PE = EH (vì P là điểm đối xứng của H qua AB)⇒ PE = AF (= EH)Tứ giác APEF có:EP // AF và PE = AF⇒ Tứ giác APEF là hình bình hành. (Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau)c) Vì P đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của PH⇒ AP = AH và BP = BHXét ΔAPB và ΔAHB có:BP = PHAP =AHAB chung⇒ ΔAPB = ΔAHB (c.c.c)\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) và \(\widehat {APB} = \widehat {AHB}\) (hai góc tương ứng)Mà có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {APH} = 90^\circ \)Hay AP ⊥ PBTa có AP ⊥ PB và PB // CQ⇒ AP ⊥ CQ hay AQ ⊥ CQ \( \Rightarrow \widehat {AQC} = 90^\circ \).Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{A_4}} + \widehat {{A_1}} = 180^\circ – \widehat {BAC} = 90^\circ \\\widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \end{array} \right.\] và \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (cmt)\( \Rightarrow \widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}}\)Xét ΔAHC và ΔAQC có:\(\widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}}\) (cmt)AC chung\(\widehat {AHC} = \widehat {AQC} = 90^\circ \)⇒ ΔAHC = ΔAQC (cạnh huyền góc nhọn)⇒ AH = AQ (hai cạnh tương ứng)Xét ΔAHF và ΔAQF có:\(\widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}}\) (cmt)AF chungAH = AQ (cmt)⇒ ΔAHF = ΔAQF (c.g.c)\( \Rightarrow \widehat {AFH} = \widehat {AFQ}\) (hai góc tương ứng)Mà \(\widehat {AFH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AFQ} = 90^\circ \).Ta có: \(\widehat {HFQ} = \widehat {AFH} + \widehat {AFQ} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)Hay H, F, Q thẳng hàng (1)Vì ΔAHF = ΔAQF (cmt) nên HF = QF (2)Từ (1) và (2) suy ra Q đối xứng với H qua F.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====