Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB, AB = a. Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều AGC. Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG. Tính diện tích các tam giác FAG và FBE.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB, AB = a. Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều AGC. Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG. Tính diện tích các tam giác FAG và FBE.

Trả lời:

Ta có: $\angle$(FAB) = $\angle$(ABC) = ${60}^0$FA // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)BC ⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)Suy ra: FA ⊥ BEBC ⊥ CD (vì BCDE là hình vuông)Suy ra: FA ⊥ CDGọi giao điểm BE và FA là H, FA và CG là K.⇒ BH ⊥ FA và FH = HA = a/2 (tính chất tam giác đều)$\angle$(ACG) + $\angle$(ACB) + $\angle$(BCD) =  ${60}^0+{30}^0+{90}^0={180}^0$⇒ G, C, D thẳng hàng⇒ AK ⊥ CG và GK = KC = 1/2 GC = 1/2 AC = (a$\sqrt{3}$)/2$S_{FAG}$ = 1/2 GK.AF = $S_{FBE}$ = 1/2 FH.BE = 1/2 .a/2 .2a = 1/2 $a^2$ (đvdt)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng HA'AA'+HB'BB'+HC'CC'=1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng $\frac{HA‘}{AA‘}+\frac{HB‘}{BB‘}+\frac{HC‘}{CC‘}=1$

   Trả lời:

   Ta có: $S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}=S_{ABC}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC. Tính tỉ số đường cao BB’, CC’ xuất phát từ đỉnh B, C
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Tính tỉ số đường cao BB’, CC’ xuất phát từ đỉnh B, C

   Trả lời:

   Ta có: Suy ra: BB’.AC = CC’.AB

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC. Tại sao nếu AB < AC thì BB' < CC'
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Tại sao nếu AB < AC thì BB’ < CC’

   Trả lời:

   Vậy BB’ < CC’.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thắng l cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thắng l cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng l theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo).

   Trả lời:

   Gọi $h_1$ và $h_2$ là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng lTổng khoảng cách là S.Vì O là tâm đối xứng của hình vuông nên OM = ON (tính chất đối xứng tâm)Suy ra AM = CNMà: $\angle$(AMP) = $\angle$(DNS) (đồng vị)$\angle$(DNS) = $\angle$(CNR) (đôi đỉnh)Suy ra: $\angle$(AMP) = $\angle$(CNR)Suy ra: $∆$APM = $∆$CRN (cạnh huyền, góc nhọn)⇒ CR = AP = $h_2$AM = CN ⇒ BM = DR$\angle$(BMQ) = $\angle$(DNS) (so le trong)Suy ra: $∆$BQM = $∆$DSN (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DS = BQ = $h_1$$S_{BOA}=1/4S_{AOB}=1/4 a^2$ (l)$S_{BOA}=S_{BOM}+S_{AOM}$ = 1/2 .b/2 .$h_1$ + 1/2 .b/2 .$h_2$Từ (1) và (2) suy ra $h_1$ + $h_2$ = $a^2$b . Vậy : S = 2($h_1$ + $h_2$) = 2$a^2$b

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tam giác ABC có hai trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo AM và BN.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC có hai trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo AM và BN.

   Trả lời:

   Tứ giác ẠBMN có hai đường chéo vuông góc.Ta có: $S_{ABMN}$= 1/2 AM.BN$∆$ABM và $∆$AMC có chung chiều cao kể từ A, cạnh đáy BM = MC nên: $S_{ABM}$ = $S_{AMC}$ = 1/2 $S_{ABC}$$∆$MNA và $∆$MNC có chung chiều cao kê từ M, cạnh đáy AN = NC nên: $S_{MAN}$ = $S_{MNC}$ = 1/2 $S_{AMC}$ = 1/4 $S_{ABC}$$S_{ABMN}$ = $S_{ABM}$ + $S_{MNA}$ = 1/2 $S_{ABC}$ + 1/4 $S_{ABC}$ = 3/4 $S_{ABC}$Vậy $S_{ABC}$ = 4/3 $S_{ABMN}$ = 4/3 .1/2 .AM.BN = 2/3 AM.BN

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====