Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.

Câu hỏi:

Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.

Trả lời:

Ta có: $\angle$(AOB) = $\angle$(COD) (đối đỉnh)$\angle$(EOB ) = 1/2 $\angle$(AOB) (gt)$\angle$(COG) = 1/2 $\angle$(COD) (gt)Suy ra: $\angle$(EOB ) = $\angle$(COG)$\angle$(EOB) +$\angle$(BOC) +$\angle$(COG) = 2 $\angle$(EOB) + $\angle$(BOC)Mà $\angle$(AOB ) + $\angle$(BOC) = ${180}^0$ ( kề bù).Hay 2 $\angle$(EOB) + $\angle$(BOC ) = ${180}^0$Suy ra: E,O,G thẳng hàngTa lại có: $\angle$(BOC) = $\angle$(AOD ) ( đối đỉnh)$\angle$(HOD) = 1/2 $\angle$(AOD) (gt)$\angle$(FOC) = 1/2 $\angle$(BOC) (gt)Suy ra: $\angle$(HOD) = $\angle$(FOC)$\angle$(HOD) + $\angle$(COD ) + $\angle$(FOC) = 2 $\angle$(HOD) + $\angle$(COD)Mà $\angle$(AOD) + $\angle$(COD) = ${180}^0$ ( kề bù). Hay 2 $\angle$(HOD) + $\angle$(COD) = ${180}^0$Suy ra: H, O, F thẳng hàng$\angle$(ADO) = $\angle$(CBO) ( so le trong)$\angle$(HDO) = $\angle$(FBO) ( chứng minh trên)OD = OB ( t/chất hình bình hành)$\angle$(HOD) = $\angle$(FOB ) ( đối đỉnh)Do đó: $∆$BFO = $∆$DHO (g.c.g)⇒ OF = OH$\angle$(OAB) = $\angle$(OCD) ( so le trong)$\angle$(OAE) = 1/2 $\angle$(OAB ) (gt)$\angle$(OCG) = 1/2 $\angle$(OCD) (gt)Suy ra: $\angle$(OAE) = $\angle$(OCG)Xét $∆$OAE và $∆$OCG,ta có :$\angle$(OAE) = $\angle$(OCG) ( chứng mình trên)OA = OC ( t/chất hình bình hành)$\angle$(EOA) = $\angle$(GOC) ( đối đỉnh)Do đó: $∆$OAE= $∆$OCG (g.c.g) ⇒ OE = OGSuy ra tứ giác EFGH là hình bình hành ( vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)OE ⊥ OF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) hay EG ⊥ FHVậy tứ giác EFGH là hình thoi

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là một hình thoi.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là một hình thoi.

   Trả lời:

   Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.Kẻ đường chéo AC, BD* Trong $∆$ABC, ta có:E là trung điểm của ABF là trung điểm của BCNên EF là đường trung bình của $∆$ABC.⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (1)Trong $∆$ADC, ta có: H là trung điểm của ADG là trung điểm của DCNên HG là đường trung bình của tam giác ADC.⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (2)Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HGSuy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)Xét $∆$AEH và $∆$DGH, ta có: AH = HD (gt)$\angle$EAH và $\angle$GDH = $90°$AE = DG (vì AB = CD)Suy ra: $∆$AEH = $∆$DGH (c.g.c) ⇒ HE = HGVậy hình bình hành EFGH là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.

   Trả lời:

   Giả sử hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.* Trong $∆$ABC, ta có:E là trung điểm của ABF là trung điểm của BCNên EF là đường trung bình của $∆$ABC.⇒ EF // AC và EF = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (1)* Trong $∆$ADC, ta có: H là trung điểm của ADG là trung điểm của CDNên HG là đường trung bình của tam giác ADC⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (t/chất đường trung bình của tam giác) (2)Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HGSuy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)Mặt khác: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)EF // AC (chứng minh trên)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh rằng trong hình thoi: Giao điểm của hai đường thẳng chéo là tâm đối xứng của hình thoi.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng trong hình thoi: Giao điểm của hai đường thẳng chéo là tâm đối xứng của hình thoi.

   Trả lời:

   Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên cũng có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo của nó.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh rằng trong hình thoi: Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng trong hình thoi: Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi.

   Trả lời:

   * Ta có: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)OB = OD (tính chất hình thoi)Nên AC là đường trung trực của BD.Do đó điểm đối xứng với điểm B qua AC là D;Điểm đối xứng với điểm D qua AC là BĐiểm đối xứng với điểm A qua AC là điểm A;Điểm đối xứng với điểm C qua AC là điểm CVậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua AC cũng thuộc hình thoiDo đó AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD.* Ta có : OC = OA và AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)Nên BD là đường trung trực của ACDo đó điểm đối xứng với điểm A qua BD là điểm CĐiểm đối xứng với điểm C qua BD là điểm AĐiểm đối xứng với điểm B qua BD là điểm BĐiểm đối xứng với điểm D qua BD là điểm DVậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua BD cũng thuộc hình thoi.Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tứ giác ABCD có tọa độ các đỉnh như sau A(0;2); B(3; 0); C(0;-2) ; D(-3;0).Tứ giác ABCD là hình gì ? Tính chu vi của tứ giác đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tứ giác ABCD có tọa độ các đỉnh như sau A(0;2); B(3; 0); C(0;-2) ; D(-3;0).Tứ giác ABCD là hình gì ? Tính chu vi của tứ giác đó.

   Trả lời:

   Ta có: A(0;2) và C(0;-2) là hai điểm đối xứng qua O(0;0)⇒ OA = OCB(3;0) và D(-3; 0) là hai điểm đối xứng qua O(0;0)⇒ OB = ODTứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)Lại có: Ox ⊥ Oy hay AC ⊥ BD.Vậy tứ giác ABCD là hình thoiTrong $∆$OAB vuông tại O, theo định lý Pi-ta-go ta có:$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2$$A{B}^2=2^2+3^2$ = 4 + 9 = 13AB = $\sqrt{13}$Vậy chu vi của hình thoi bằng 4$\sqrt{13}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====