Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD, N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng: a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB;

Câu hỏi:

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD, N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng:
a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB;

Trả lời:

a) • Ta có: AE = EF = FC nên $AE=EF=FC=\frac{1}{3}AC$   (1)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành.
Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Suy ra $AO=CO=\frac{1}{2}AC$   (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\frac{CF}{CO}=\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{2}AC}=\frac{2}{3}$ hay $CF=\frac{2}{3}CO$.
• Xét DBCD có CO là trung tuyến của tam giác và $CF=\frac{2}{3}CO$ nên F là trọng tâm của DBCD.
Do đó BF hay BM cũng là đường trung tuyến của DBCD.
Suy ra M là trung điểm của CD.
• Chứng minh tương tự đối với DABD ta có E là trọng tâm của tam giác.
Do đó DE hay DN cũng là đường trung tuyến của DABD.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Bạn Nam dùng 6 đoạn tre vót thẳng để làm khung diều hình thoi. Trong đó có 2 đoạn tre dài 60 cm và 80 cm để làm hai đường chéo của cái diều, 4 đoạn tre còn lại là 4 cạnh của cái diều. Khi đó tổng độ dài 4 đoạn tre dùng làm cạnh của cái diều hình thoi là A. 5 m. B. 1 m. C. 1,5 m. D. 2 m.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Bạn Nam dùng 6 đoạn tre vót thẳng để làm khung diều hình thoi. Trong đó có 2 đoạn tre dài 60 cm và 80 cm để làm hai đường chéo của cái diều, 4 đoạn tre còn lại là 4 cạnh của cái diều. Khi đó tổng độ dài 4 đoạn tre dùng làm cạnh của cái diều hình thoi là

   A. 5 m.
   B. 1 m.
   C. 1,5 m.
   D. 2 m.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   
   Hình ảnh khung diều hình thoi được mô phỏng bởi hình thoi ABCD có các kích thước như hình vẽ trên.
   Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
   Suy ra $OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}.60=30\left(cm\right)$ và $OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.80=40\left(cm\right)$.
   Áp dụng định lí Pythagore vào DOAB vuông tại O, ta có:
   AB² = OA² + OB² = 40² + 30² = 1 600 + 900 = 2 500 = 50²
   Suy ra AB = 50 cm.
   Do vậy cạnh của hình thoi có độ dài 50 cm.
   Khi đó tổng độ dài 4 đoạn tre dùng làm cạnh của cái diều hình thoi là:
   4.50 = 200 cm = 2 m.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có A^=65°. Số đo góc C là A. 115°. B. 95°. C. 65°. D. 125°.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có $\widehat{A}=65°$. Số đo góc C là
   A. 115°.
   B. 95°.
   C. 65°.
   D. 125°.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   
   Do ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$
   Suy ra $\widehat{D}=180°-\widehat{A}=180°-65°=115°$.
   Mặt khác, ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên $\widehat{C}=\widehat{D}=115°$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. B. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. C. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật. D. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
   A. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
   B. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
   C. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.
   D. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C
   Theo tính chất hình bình hành: Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
   Do đó đây là tính chất đã có sẵn của hình bình hành, nên khẳng định C là sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Biết AB = 8 cm; AC = 15 cm. Độ dài đoạn AM là A. 8,5 cm. B. 8 cm. C. 7 cm. D. 7,5 cm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Biết AB = 8 cm; AC = 15 cm. Độ dài đoạn AM là
   A. 8,5 cm.
   B. 8 cm.
   C. 7 cm.
   D. 7,5 cm.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   
   Áp dụng định lí Pythagore vào DABC vuông tại A ta có:
   BC² = AB² + AC² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17².
   Suy ra BC = 17 cm.
   Xét tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC.
   Do đó $AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.17=8,5\left(cm\right)$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 13 cm, độ dài đường chéo AC là 10 cm. Độ dài đường chéo BD là A. 24 cm. B. 12 cm. C. 16 cm. D. 20 cm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 13 cm, độ dài đường chéo AC là 10 cm. Độ dài đường chéo BD là
   A. 24 cm.
   B. 12 cm.
   C. 16 cm.
   D. 20 cm.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   
   Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
   Suy ra $OD=\frac{1}{2}BD$ và $OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.10=5\left(cm\right)$.
   Áp dụng định lí Pythagore vào DOAD vuông tại O, ta có:
   AD² = OA² + OD²
   Suy ra $OD=\sqrt{A{D}^2-O{A}^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=12\left(cm\right)$.
   Do đó BD = 2OD = 2.12 = 24 (cm).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====