Cho xOy^ có tia phân giác Oz. Trên tia Ox, lấy điểm A bất kỳ. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, đường thẳng này cắt Oz tại H và cắt Oy tại K. Lấy điểm B trên tia Ox sao cho KA là đường phân giác của OKB^. Kẻ HI ⊥ OK (I ∈ OK). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

Câu hỏi:

Cho $\widehat{xOy}$ có tia phân giác Oz. Trên tia Ox, lấy điểm A bất kỳ. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, đường thẳng này cắt Oz tại H và cắt Oy tại K. Lấy điểm B trên tia Ox sao cho KA là đường phân giác của $\widehat{OKB}$. Kẻ HI ⊥ OK (I ∈ OK). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. ∆OAK = ∆BAK;

B. HA = HI;

C. A là trung điểm của OB;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án đúng là: D

Ta xét đáp án A:
Xét ∆OAK và ∆BAK, có:
AK là cạnh chung.
$\widehat{OKA}=\widehat{BKA}$ (do KA là đường phân giác của $\widehat{OKB}$).
$\widehat{OAK}=\widehat{BAK}=90°$.
Do đó ∆OAK = ∆BAK (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra đáp án A đúng.
Ta xét đáp án B:
∆OBK có hai đường phân giác OH, KH cắt nhau tại H.
Suy ra H cách đều OK và OB (tính chất ba đường phân giác của tam giác)
Do đó HA = HI (do HA ⊥ OB, HI ⊥ OK).
Suy ra đáp án B đúng.
Ta xét đáp án C:
Ta có ∆OAK = ∆BAK (chứng minh trên).
Suy ra OA = AB.
Khi đó A là trung điểm của OB.
Do đó đáp án C đúng.
Vậy ta chọn đáp án D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình vẽ bên: Biết CI, BI là hai đường phân giác của ∆ABC. Tìm x.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vẽ bên:
   
   Biết CI, BI là hai đường phân giác của ∆ABC. Tìm x.

   A. x = 30°;

   Đáp án chính xác

   B. x = 60°;

   C. x = 90°;

   D. x = 120°.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Ta có CI, BI là hai đường phân giác của ∆ABC nên:
   +) $\widehat{ABC}=2\widehat{IBC}$
   +) $\widehat{ACB}=2\widehat{ACI}$
   Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{IBC}+2\widehat{ICA}$.
   $=2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICA}\right)=2\left(37°+23°\right)=120°$.
   ∆ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)
   Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=180°-120°=60°$.
   ∆ABC có hai đường phân giác CI, BI cắt nhau tại I.
   Suy ra AI là đường phân giác thứ ba của ∆ABC.
   Do đó $\widehat{CAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60°=30°$.
   Khi đó x = 30°.
   Vậy ta chọn đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho ∆ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Gọi O là giao điểm của các tia phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của ∆ABC. Kẻ OH ⊥ BC tại H, OK ⊥ AB tại K và OI ⊥ AC tại I. Độ dài đoạn thẳng HB bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Gọi O là giao điểm của các tia phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của ∆ABC. Kẻ OH ⊥ BC tại H, OK ⊥ AB tại K và OI ⊥ AC tại I. Độ dài đoạn thẳng HB bằng:

   A. 1 cm;

   B. 2 cm;

   Đáp án chính xác

   C. 3 cm;

   D. 4 cm.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   Vì ba đường phân giác của ∆ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A.
   Do đó AO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ∆ABC.
   Xét ∆AOK và ∆AOI, có:
   AO là cạnh chung.
   $\widehat{KAO}=\widehat{IAO}$ (AO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ∆ABC).
   $\widehat{AKO}=\widehat{AIO}=90°$.
   Do đó ∆AOK = ∆AOI (cạnh huyền – góc nhọn).
   Suy ra AK = AI (cặp cạnh tương ứng).
   Chứng minh tương tự, ta được BK = BH và CI = CH.
   Do đó BK + CI = BH + CH
   Suy ra BK + CI = BC (vì H ∈ BC).
   Vì vậy BK + CI = 6 (cm).
   Khi đó ta có (AB – AK) + (AC – AI) = 6
   Suy ra AB + AC – AK – AI = 6
   Do đó 3 + 5 – 2AK = 6 (vì AI = AK)
   Vì vậy 8 – 2AK = 6
   Suy ra 2AK = 8 – 6 = 2.
   Do đó AK = 2 : 2 = 1 (cm)
   Ta có BK = AB – AK = 3 – 1 = 2 (cm)
   Suy ra BH = BK = 2 cm.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho ∆ABC biết ABC^=60°, BAC^=80°. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác này. Số đo ICA^ bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆ABC biết $\widehat{ABC}=60°$, $\widehat{BAC}=80°$. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác này. Số đo $\widehat{ICA}$ bằng:

   A. 40°;

   B. 20°;

   Đáp án chính xác

   C. 30°;

   D. 80°.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: B
   
   ∆ABC có: $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$ (định lí tổng ba góc của tam giác)
   Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=180°-60°-80°=40°$.
   Ta có I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của ∆ABC (giả thiết).
   Ta suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆ABC.
   Do đó $\widehat{ICA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{1}{2}.40°=20°$.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho ∆MNP có N^=50°, P^=60°. Các đường phân giác NE, PF cắt nhau ở H. Số đo NHP^ bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆MNP có $\widehat{N}=50°$, $\widehat{P}=60°$. Các đường phân giác NE, PF cắt nhau ở H. Số đo $\widehat{NHP}$ bằng:

   A. 70°;

   B. 75°;

   C. 100°;

   D. 125°.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là:D
   
   ∆MNP có NE, PF là hai đường phân giác.
   Suy ra $\widehat{N_1}=\frac{1}{2}\widehat{MNP}=\frac{1}{2}.50°=25°$ và $\widehat{P_1}=\frac{1}{2}\widehat{MPN}=\frac{1}{2}.60°=30°$.
   ∆NHP có: $\widehat{NHP}+\widehat{N_1}+\widehat{P_1}=180°$(định lí tổng ba góc của tam giác)
   Suy ra $\widehat{NHP}=180°-\widehat{N_1}-\widehat{P_1}=180°-25°-30°=125°$.
   Vậy ta chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ∆DEF có DE = DF, hạ DK ⊥ EF (K ∈ EF). Gọi EM, FN lần lượt là tia phân giác của DEF^ và DFE^. Đường thẳng DK đi qua điểm nào trong các điểm sau đây:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ∆DEF có DE = DF, hạ DK ⊥ EF (K ∈ EF). Gọi EM, FN lần lượt là tia phân giác của $\widehat{DEF}$ và $\widehat{DFE}$. Đường thẳng DK đi qua điểm nào trong các điểm sau đây:

   A. M;

   B. N; 

   C. giao điểm của NF và EM;

   Đáp án chính xác

   D. E.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C
   
   Xét ∆DEK và ∆DFK, có:
   DE = DF (do ∆DEF cân tại D).
   $\widehat{DEK}=\widehat{DFK}$ (do ∆DEF cân tại D).
   $\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90°$.
   Do đó ∆DEK = ∆DFK (cạnh huyền – góc nhọn).
   Suy ra $\widehat{EDK}=\widehat{FDK}$ (cặp góc tương ứng).
   Khi đó DK là đường phân giác thứ ba của ∆DEF.
   Mà ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm
   Suy ra DK đi qua giao điểm của hai đường phân giác EM và FN.
   Vậy ta chọn đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====