Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E. a) Chứng minh trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E.
a) Chứng minh trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

Trả lời:

a) Gọi K là giao điểm của BD và AE.
Xét DBAD và DBED có:
$\widehat{BAD}=\widehat{BED}(=90°)$,
BD là cạnh chung,
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (do BD là tia phân giác của góc ABC)
Do đó ∆BAD = ∆BED (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra BA = BE (hai cạnh tương ứng).
Xét DABK và DEBK có:
BA = BE (chứng minh trên),
$\widehat{ABK}=\widehat{EBK}$ (do BD là tia phân giác của góc ABC),
BK là cạnh chung
Do đó DABK = DEBK (c.g.c)
Suy ra $\widehat{BKA}=\widehat{BKE}$  (hai góc tương ứng).
Mà $\widehat{BKA}+\widehat{BKE}=180°$   (hai góc kề bù)
Nên $\widehat{BKA}=\widehat{BKE}=\frac{180°}{2}=90°$
Hay BK ⊥ AE.
Do BK là đường cao của tam giác BAE và B, K, D thẳng hàng nên trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.
Vậy trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC có AB > AC > BC và H là trực tâm. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? a) H là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có AB > AC > BC và H là trực tâm. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
   a) H là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

   Trả lời:

   

   Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên H là giao điểm của ba đường cao trong tam giác ABC.
   Do đó phát biểu a là sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. b) CH vuông góc với AB.
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) CH vuông góc với AB.

   Trả lời:

   Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH ⊥ AB. Do đó phát biểu b là đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. c) AH vuông góc với BC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   c) AH vuông góc với BC.

   Trả lời:

   Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC. Do đó phát biểu c là đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC có AB &gt; AC &gt; BC và K là trực tâm. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có AB > AC > BC và K là trực tâm. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

   a) K là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

   b) K là giao điểm ba đường cao của tam giác ABC.

   Đáp án chính xác

   c) K là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

   d) K là giao điểm ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

   Trả lời:

   

   Vì K là trực tâm của tam giác ABC nên K là giao điểm của ba đường cao trong tam giác ABC.
   Do đó phát biểu b là đúng.
   Vậy ta chọn phát biểu b.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (Hình 61). Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HBC, HCA.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (Hình 61). Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HBC, HCA.
   

   Trả lời:

   • Xét tam giác HAB có BD ⊥ AH, AE ⊥ BH, HF ⊥ AB và ba đường cao BD, AE, HF cắt nhau tại C.
   Do đó C là trực tâm tam giác HAB.
   • Xét tam giác HBC có HD ⊥ BC, BF ⊥ HC, CE ⊥ BH và ba đường cao HD, BF, CE cắt nhau tại A.
   Do đó A là trực tâm tam giác HBC.
   • Xét tam giác HCA có HE ⊥ AC, AF ⊥ HC, CD ⊥ AH và ba đường cao HE, AF, CD cắt nhau tại B.
   Do đó B là trực tâm tam giác HCA.
   Vậy trực tâm của các tam giác HAB, HBC, HCA tương ứng là C, A, B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====