Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn (mới 2023 + bài tập) – Toán 8

Tài liệu Lý thuyết và bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn gồm các nội dung chính sau:

I. Tóm tắt lý thuyết

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

II. Bài tập và các dạng bài toán

– gồm 4 dạng bài tập Lý thuyết và bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

III. Bài tập về nhà

– gồm 6 bài tập tự luyện giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng Lý thuyết và bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Bất phương trình bậc nhất một ẩn  là bất phương trình có dạng $ax+b<0$ (hoặc $ax+b>0;ax+b\le 0;ax+b\ge 0$) trong đó a, b là hai số đã cho và $a\ne 0$.

* Các quy tắc

– Quy tắc chuyển vế; Khi chuyển một hạng tử từ một vế của bất phương trình sang vế còn lại, ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ  $A\left(a\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff A\left(x\right)<C\left(x\right)-B\left(x\right)$

– Quy tắc nhân (hoặc chia) với một số khác 0: Khi nhân (hoặc chia) hai vế của bất phương trình với một số khác 0 ta phải giữ nguyên chiều bất phương trình (nếu số đó dương) hoặc đổi chiều bất phương trình (nếu số đó âm) ta được bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho.

Ví dụ:

$A\left(x\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff mA\left(x\right)+mB\left(x\right)<mC\left(x\right)$ với $m>0$.

$A\left(x\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff \frac{A\left(x\right)}{m}+\frac{B\left(x\right)}{m}<\frac{C\left(x\right)}{m}$ với $m>0$.

$A\left(x\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff mA\left(x\right)+mB\left(x\right)>mC\left(x\right)$ với $m<0$.

$A\left(x\right)+B\left(x\right)<C\left(x\right)\iff \frac{A\left(x\right)}{m}+\frac{B\left(x\right)}{m}>\frac{C\left(x\right)}{m}$ với $m<0$.

* Cách giải bất phương trình bậc nhất 1 ẩn   $ax+b<0(a>0)$

Ta có:

$ax+b<0\iff ax<-b$ (sử dụng quy tắc chuyển vế)

  $\iff x<-\frac{b}{a}$   (sử dụng quy tắc chia cho một số dương)

* Tương tự cho các trường hợp còn lại (chú ý tuân thủ hai quy tắc ở trên)

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Nhận dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn.

1A. Hãy xét xem các bất phương trình sau có là bất phương trình bậc nhất  một ẩn hay không?

a) $0x+3\ge 0;$            b) $x-1<0;$             c) $\frac{2}{3}x\le 0;$              d) $\frac{2x^2}{5}+1>0.$ 

1B. Trong các bất phương trình sau đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn? Vì sao?

a) $-2\left|x\right|+3>0;$        b) $\frac{x}{3}-\frac{5}{4}=0;$            c) $\frac{1}{x}+4\le 0;$            d) $\frac{-3x-8}{4}\ge 0.$ 

2A. Tìm m để các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất ẩn x:

a) $(2m^2-4)x-m\ge 0$                    b) $(3m-1)x^3-x+6<0;$ 

c) $\frac{x}{m^2+3m-4}-2m\le 0;$                d)  $\frac{(2m+9)x+5}{5m+10}$

2B. Tìm a để các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất ẩn x:

a) $\left|a-5\right|x<6;$                             b) $(2a^2-1)x+7\ge 0;$  

c)  $\left|\frac{-a+9}{3}\right|x-\frac{3a}{5}<0;$          d) $\frac{ax-5}{3-a}\le 0.$  

3A. Chứng minh các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số m:

a)  $(m^2+3)x+1\le 0;$                     b)  $-\left(m^2+m+4\right)x>-2m+3$ 

3B. Chứng minh các bất phương trình sau là bất phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của tham số m:

a)  $\sqrt{\frac{2m^2+1}{5}}x-\frac{2m}{5}>0;$                b)  $(\left|4m-5\right|+1)x<2.$

Dạng 2. Giải bất phương trình dạng cơ bản

Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức, các quy tắc chuyển vế hoặc nhận (chia) với một số khác 0 để giải các bất phương trình đã cho.

4A. Giải các bất phương trình sau:

a) $2x-8>0;$           b)  $9-3x\le 0;$          c) $5-\frac{1}{3}x<1;$           d)  $\frac{3x+5}{2}-x\ge 1+\frac{x+2}{3}$

4B. Giải các bất phương trình sau:

a) $3x+15<0;$           b) $-3x-4>2;$         c) $\frac{x}{2}-\frac{11}{5}\le -\frac{1}{5};$         d)  $\frac{1-4x}{12}<\frac{5-3x}{9}$ 

5A. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a)  $(2x+3)(2x-1)<{(2x-5)}^2$                   b)  $(x-1)(x+2)<{(x-1)}^2+3$

5B. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) ${(x+1)}^2+2x^2<{(2x+3)}^2-{(x-3)}^2;$          b) $2x(x-7)+{(3-x)}^2>3{(x+1)}^2$.

6A. Giải các bất phương trình sau và viết tập nghiệm bằng kí hiệu tập hợp:

a)  $\frac{7(x-2)}{6}-2>\frac{2(x+1)}{3};$                        b) $x-\frac{2x+1}{2}>2x-\frac{2}{3}$  

6B. Giải các bất phương trình sau và viết tập nghiệm bằng kí hiệu tập hợp:

a) $\frac{x+2}{7}-\frac{1}{21}>\frac{3x+1}{3};$                            b) $1+\frac{x-2}{3}>5-x+\frac{3(x-2)}{3}$ 

 

Dạng 3. Các bài toán về số

Phương pháp giải:

Bước 1. Sử dụng các quy tắc (hoặc thiết lập bất phương trình dựa trên giả thiết bài toán) để giải cacsbaats phương trình đã cho.

Bước 2. Dựa vào nghiệm đã giải đánh giá và đưa ra kết luận theo yêu cầu bài toán.

7A. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình:

$3(n+2)+4n-3<24$ và  ${(n-3)}^2-43\le (n-4)(n+4)$

7B. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

a) $5(2-3n)\ge -3n-42;$                            b)  ${\left(n+1\right)}^2\le 3+(n+2)(n-2)$

8A. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn 13 nhưng nhỏ hơn 29.

8B. Một số tự nhiên có ba chữ số biết rằng chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 1, chữ số hàng chục bằng chữ số hàng đơn vị. Tìm số đó, biết số đó lớn hơn 210 nhưng nhỏ hơn 303.