Lý thuyết Đa thức (Kết nối tri thức 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 2: Đa thức

A. Lý thuyết Đa thức

1. Đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức.

Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chú ý: mỗi đơn thức được gọi là một đa thức (chỉ chứa một hạng tử).

Số 0 được gọi là đơn thức không, cũng gọi là đa thức không.

Ví dụ: $x^2-4x+3;x^2+3xy{z}^2-yz+1;\left(x+3y\right)+\left(2x--y\right)$ là đa thức.

$\frac{x+y}{x-y},\frac{x^2+2}{x^2-y^2}$ không phải là đa thức.

$x^2-4x+3$ có 3 hạng tử $x^2;-4x;3$.

$x^2+3xy{z}^2-yz+1$ có 4 hạng tử $x^2;3xy{z}^2;-yz;1$.

2. Đa thức thu gọn

Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào đồng dạng.

Biến đổi một đa thức thành đa thức thu gọn gọi là thu gọn đa thức đó.

Để thu gọn một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và cộng các hạng tử đồng dạng đó với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}A=x^3-2x^{2}y-x^{2}y+3x{y}^2-y^3\\ =x^3-3x^{2}y-3x{y}^2-y^3\end{array}$

3. Bậc của đa thức

Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức gọi là bậc của đa thức đó.

Một số khác 0 tùy ý được coi là một đa thức bậc 0.

Số 0 cũng là một đa thức, gọi là đa thức không. Nó không có bậc xác định.

 

B. Bài tập Đa thức

Bài 1. Cho các biểu thức sau:

x³ – x² + 2x + 3;  xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ; x³y²z + xyz – $\frac{1}{y^2}$ ; 2x²y² – 5xyz + 2023;

a) Trong các biểu thức trên, biểu thức nào là đa thức?

b) Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong các đa thức tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Các đa thức là: x³ – x² + 2x + 3;  xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ; 2x²y² – 5xyz + 2023.

Biểu thức x³y²z + xyz – $\frac{1}{y^2}$  không là đa thức vì hạng tử – $\frac{1}{y^2}$  không là đơn thức.

b) Đa thức x³ – x² + 2x + 3 có:

Hạng tử x³ có hệ số là 1, bậc 3;

Hạng tử – x² có hệ số là – 1, bậc 2;

Hạng tử 2x có hệ số là 2, bậc 1;

Hạng tử 3 có hệ số là 3, bậc 0.

+ Đa thức xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$  có:

Hạng tử xy⁴ có hệ số là 1, bậc 5;

Hạng tử 2x³ có hệ số là 2, bậc 3;

Hạng tử – x²y có hệ số là – 1, bậc 3;

Hạng tử $\frac{x}{\sqrt{2}}$  có hệ số là $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , bậc 1.

+ Đa thức 2x²y² – 5xyz + 2023 có:

Hạng tử 2x²y² có hệ số là 2, bậc 4;

Hạng tử – 5xyz có hệ số là – 5, bậc 3;

Hạng tử 2023 có hệ số là 2023, bậc 0.

Bài 2. Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

A = 3x²y – 5xy + $\frac{1}{2}$x²y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$ x +$\frac{1}{2}$+ $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$ ;

B = 7x⁵ – $\frac{1}{2}$x³y – $\frac{3}{4}$xy²  + 3;

C = 5x²y + xy² – xy + 3 + 2xy² – 5xy – 5x²y + 1.

Hướng dẫn giải

A = 3x²y – 5xy + $\frac{1}{2}$x²y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$x + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$

    = (3x²y + $\frac{1}{2}$x²y) + (– 5xy – xy + 3xy) + (– $\frac{2}{3}$ x + $\frac{1}{3}$ x ) + ( $\frac{1}{2}$ – $\frac{3}{2}$ )

    = $\frac{7}{2}$ x²y – 3xy – $\frac{1}{3}$ x – 1

Hạng tử $\frac{7}{2}$ x²y có bậc 3; hạng tử – 3xy có bậc 2; hạng tử – $\frac{1}{3}$ x có bậc 1; – 1 có bậc 0.

Nên đa thức A có bậc là 3.

B = 7x⁵ – $\frac{1}{2}$ x³y – $\frac{3}{4}$ xy²  + 3 là đa thức đa thu gọn có:

Hạng tử 7x⁵ có bậc 5; hạng tử – $\frac{1}{2}$ x³y có bậc 4; hạng tử –$\frac{3}{4}$ xy² có bậc 3; hạng tử 3 có bậc 0.

Nên đa thức B có bậc là 5.

C = 5x²y + xy² – xy + 3 + 2xy² – 5xy – 5x²y + 1

    = (5x²y – 5x²y) + (xy² + 2xy²)  + (– xy – 5xy) + (3 + 1)

    = 3xy² – 6xy + 4

Hạng tử 3xy² có bậc 3; hạng tử – 6xy có bậc 2; hạng tử 4 có bậc 0.

Nên đa thức C có bậc 3.

Bài 3. Cho đa thức M = 9x²y²z – 3xyz + 5y²z – 6x²y²z + x²y² – 3x²y²z.

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức M;

b) Tính giá trị của đa thức M tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn đa thức M:

M = 9x²y²z – 3xyz + 5y²z – 6x²y²z + x²y² – 3x²y²z

     = (9x²y²z – 6x²y²z  – 3x²y²z)  – 3xyz + 5y²z + x²y²

     = – 3xyz + 5y²z + x²y²

Hạng tử – 3xyz có bậc 3; hạng tử 5y²z có bậc 3; hạng tử x²y² có bậc 4.

Vậy đa thức M có bậc 4.

b)  Thay x = 1; y = – 1 và z = 2 vào đa thức M thu gọn, ta được:

M = – 3.1.( – 1).2 + 5.(– 1)².2 + 1².( – 1)²

     =          6          +      10       +      1

     =                           17

Vậy M = 17 tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Video bài giảng Toán 8 Bài 2: Đa thức – Kết nối tri thức

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Đơn thức

Lý thuyết Bài 2: Đa thức

Lý thuyết Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức

Lý thuyết Bài 4: Phép nhân đa thức

Lý thuyết Bài 5: Phép chia đa thức cho đơn thức

Lý thuyết Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Đa thức

Lý thuyết Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Lý thuyết Chương 3: Tứ giác

Lý thuyết Chương 4: Định lí Thalès

Lý thuyết Chương 5: Dữ liệu và biểu đồ