Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Tài liệu gồm có:
I. Lý thuyết
II. Bài tập
NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
A. TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. Lý thuyết
1. Nhân đơn thức vơi đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
\(A.\left( {B + C} \right) = A.B + A.C\)
2. Nhân đa thức với đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
\(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + BC + AD + BD\)
II. Các dạng bài tập:
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Phương pháp:
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để thực hiệp phép tính.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a) \(\left( { – 2{x^2}} \right)\left( {{x^2} – 2x + 3} \right)\frac{1}{2}\)
b) \(\left( {\frac{2}{3}x{y^2}} \right)\left( {{x^2}y – xy + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}} \right)\)
c) \(\left( { – 2x + 1} \right)\left( {2{x^2} – \frac{1}{3}x + 2} \right)\)
d) \(\left( {x + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + \frac{1}{2}y + \frac{3}{2}xy} \right)\)
Giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( { – 2{x^2}} \right)\left( {{x^2} – 2x + 3} \right)\\ = \left( { – 2{x^2}} \right){x^2} – \left( { – 2{x^2}} \right)2x + \left( { – 2{x^2}} \right)3\end{array}\)
\( = – 2{x^4} + 4{x^3} – 6{x^2}\).
b) Ta có: \(\left( {\frac{2}{3}x{y^2}} \right)\left( {{x^2}y – xy + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}} \right)\)
\( = \left( {\frac{2}{3}x{y^2}} \right){x^2}y – \left( {\frac{2}{3}x{y^2}} \right)xy + \left( {\frac{2}{3}x{y^2}} \right)\frac{x}{2} + \left( {\frac{2}{3}x{y^2}} \right)\frac{1}{4}\)
\( = \frac{2}{3}{x^3}{y^3} – \frac{2}{3}{x^2}{y^3} + \frac{1}{3}{x^2}{y^2} + \frac{1}{3}x{y^2}\)
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( { – 2x + 1} \right)\left( {2{x^2} – \frac{1}{3}x + 2} \right)\\ = – 2x.\left( {2{x^2} – \frac{1}{3}x + 2} \right) + 1.\left( {2{x^2} – \frac{1}{3}x + 2} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = – 4{x^2} + \frac{2}{3}{x^2} – 4x + 2{x^2} – \frac{1}{3}x + 2\\ = – 4{x^3} + \frac{{8{x^2}}}{3} – \frac{{13x}}{3} + 2\end{array}\)
d) Ta có: \(\left( {x + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + \frac{1}{2}y + \frac{3}{2}xy} \right)\)
\( = \left( {x + {y^2}} \right){x^2} + \left( {x + {y^2}} \right)\frac{1}{2}y + \left( {x + {y^2}} \right)\frac{3}{2}xy\)
\( = x{x^2} + {x^2}.{y^2} + x.\frac{1}{2}y + {y^2}.\frac{1}{2}y + x.\frac{3}{2}xy + {y^2}.\frac{3}{2}xy\)
\( = {x^3} + {x^2}{y^2} + \frac{{xy}}{2} + \frac{{{y^3}}}{2} + \frac{{3{x^2}y}}{2} + \frac{{3x{y^3}}}{2}\)
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) \(\left( x \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – \left( {3x – 2{x^2}} \right)\left( {3x} \right)\)
b) \(\left( {x{y^2}} \right)\left( {x – xy} \right) – \left( x \right)\left( {x + y} \right) + \left( {yx} \right)\left( {2{x^2} – 2x{y^2}} \right)\)
c) \(\left( { – x} \right)\left( {2x + 2} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)\)
d) \(\left( {x + y} \right)\left( {x + \frac{1}{2}y} \right)\left( {1 – \frac{{xy}}{3}} \right)\)
Giải
a) Ta có:
\(\left( x \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – \left( {3x – 2{x^2}} \right)\left( {3x} \right) + x.{x^2} + x.1 – 3x.3x + 2{x^2}.3x\)
\( = {x^3} + x – 9{x^3} + 6{x^3} = 7{x^2} – 9{x^2} + x\)
b) Ta có:
\(\left( {x{y^2}} \right)\left( {x – xy} \right) – \left( x \right)\left( {x + y} \right) + \left( {yx} \right)\left( {2{x^2} – 2x{y^2}} \right)\)
\( = x{y^2}.x – x{y^2}.xy – x.x – x.y + yx.2{x^2} – yx.2x{y^2}\)
\( = {x^2}.{y^2} – {x^2}{y^3} – {x^2} – xy + 2{x^3}y – 2{x^2}{y^3}\)
\( = {x^2}{y^2} – {x^2} – xy + 2{x^3}y – 3{x^2}{y^3}\)
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( { – x} \right)\left( {2x + 2} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)\\ = \left( {\left( { – x} \right).2x + \left( { – x} \right)2} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \left( { – 2{x^2} – 2x} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)\\ = – 2{x^2}\left( {{x^2} – x + 1} \right) – 2x\left( {{x^2} – x + 1} \right)\end{array}\)
=\(\left( { – 2{x^2}} \right){x^2} – \left( { – 2{x^2}} \right)x + \left( { – 2{x^2}} \right) – \left( {2x.{x^2} – 2x.x + 2x} \right)\)
\( = – 2{x^4} + 2{x^3} – 2{x^2} – 2{x^3} + 2{x^2} – 2x = – 2{x^4} – 2x\)
d) Ta có: \(\left( {x + y} \right)\left( {x + \frac{1}{2}y} \right)\left( {1 – \frac{{xy}}{3}} \right)\)
\( = \left( {x\left( {x + y} \right) + \frac{1}{2}y\left( {x + y} \right)} \right)\left( {1 – \frac{{xy}}{3}} \right)\)
\( = \left( {{x^2} + xy + \frac{{xy}}{2} + \frac{{{y^2}}}{2}} \right) – \frac{{xy}}{3}\left( {{x^2} + xy + \frac{{xy}}{2} + \frac{{{y^2}}}{2}} \right)\)
\( = \left( {{x^2} + xy + \frac{{xy}}{2} + \frac{{{y^2}}}{2}} \right) – \left( {{x^2}.\frac{{xy}}{3}xy.\frac{{xy}}{3} + \frac{{xy}}{2}.\frac{{xy}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2}.\frac{{xy}}{3}} \right)\)
\( = \left( {{x^2} + xy + \frac{{xy}}{2} + \frac{{{y^2}}}{2}} \right) – \left( {\frac{{{x^3}y}}{3} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{3} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{6} + \frac{{x{y^3}}}{6}} \right)\)
\( = {x^2} + xy + \frac{{xy}}{2} + \frac{{{y^2}}}{2} – \frac{{{x^3}y}}{3} – \frac{{{x^2}{y^2}}}{3} – \frac{{{x^2}{y^2}}}{6} – \frac{{x{y^3}}}{6}\)
\( = {x^2} + \frac{{3xy}}{2} + \frac{{{y^2}}}{2} – \frac{{{x^3}y}}{3} – \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} – \frac{{x{y^3}}}{6}\)
Bài 3: Tìm giá trị biểu thức
a) \(A = 2x\left( {3{x^2} + 5} \right) – x\left( {3x – {x^2}} \right) – {x^2}\) tại x = 2
b) \(B = \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} – xy} \right) – x\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)\) tại x = 2; y = -3
c) \(C = 6\left( {{x^2} – x} \right) – {x^2}\left( {4x – 2} \right) + 4x\left( {{x^2} – 2x + 3} \right)\) tại x = -4
d) \(D = x\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) – y\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\) tại x = 5; y = -1.
Giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = 2x\left( {3{x^2} + 5} \right) – x\left( {3x – {x^2}} \right) – {x^2}\\ = 2x.3{x^2} + 2x.5 – x.3x + x.{x^2} – {x^2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = 6{x^3} + 10x – 3{x^2} + {x^3} – {x^2}\\ = 7{x^3} – 4{x^2} + 10x\end{array}\)
Tại x = 2 thay vào ta được:
\(A = {7.2^3} – {4.2^2} + 10.2 = 56 – 16 + 20 = 60\)
Vậy A = 60.
b) Ta có: \(B = \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} – xy} \right) – x\left( {{x^2} + 2{y^2}} \right)\)
\( = x\left( {{x^2} – xy} \right) – y\left( {{x^2} – xy} \right) – x.{x^2} – x.2{y^2}\)
\( = x.{x^2} – x.xy – y.{x^2} + y.xy – {x^3} – 2x{y^2}\)
\( = {x^3} – {x^2}y – {x^2}y + x{y^2} – {x^3} – 2x{y^2} = – 2{x^2}y – x{y^2}\)
Tại x = 2; y = -3 thay vào ta được
\(B = – {2.2^2}.\left( { – 3} \right) – 2.{\left( { – 3} \right)^2} = 24 – 18 = 6\)
Vậy B = 6.
c) Ta có: \(C = 6\left( {{x^2} – x} \right) – {x^2}\left( {4x – 2} \right) + 4x\left( {{x^2} – 2x + 3} \right)\)
=\(6{x^2} – 6x – 4{x^3} + 2{x^2} + 4{x^3} – 8{x^2} + 12x\)
\(\begin{array}{l} = 6{x^2} – 6x – 4{x^3} + 2{x^2} + 4{x^3} – 8{x^2} + 12x\\ = 12x – 6x = 6x\end{array}\)
Tại x = -4 thay vào ta được: C = 6(-4) = -24.
Vậy C = -24.
d) Ta có: \(D = x\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) – y\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)
\( = {x^3} + {x^2}y + x{y^2} – y{x^2} – x{y^2} – {y^3} = {x^3} – {y^3}\)
Tại x = 5; y = -1 thay vào ta được: \(D = {5^3} – {\left( { – 1} \right)^3} = 125 – \left( { – 1} \right) = 126\)
Vậy D = 126.
Dạng 2: Tìm x với điều kiện cho trước
Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhận đa thức với đa thức để tìm giá trị x.
Bài 1: Tìm x, biết:
a) \( – 2x\left( {x + 3} \right) + x\left( {2x – 1} \right) = 10\)
b) \(\left( {\frac{2}{3}x} \right)\left( {\frac{{9x}}{2} + \frac{1}{4}} \right) – \left( {3{x^2} + x + 2} \right) = 3\)
Giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l} – 2x\left( {x + 3} \right) + x\left( {2x – 1} \right) = 10\\ \Leftrightarrow – 2{x^2} + 6x + 2{x^2} – x = 10\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 5x + 10 \Leftrightarrow x = 2\)
b) Ta có: \(\left( {\frac{2}{3}x} \right)\left( {\frac{{9x}}{2} + \frac{1}{4}} \right) – \left( {3{x^2} + x + 2} \right) = 3\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}x} \right)\left( {\frac{{9x}}{2}} \right) + \left( {\frac{2}{3}x} \right)\frac{1}{4} – \left( {3{x^2} + x + 2} \right) = 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} + \frac{x}{6} – 3{x^2} – x – 2 = 3\\ \Leftrightarrow – \frac{{5x}}{6} – 2 = 3 \Leftrightarrow – \frac{{5x}}{6} = 5 \Leftrightarrow x = – 6\end{array}\)
Bài 2: Tìm x, biết:
a) \(\left( {1 – 2x} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right) = 14\)
b) \(\left( {3{x^2} + x + 2} \right) – \left( {2x + 1} \right)\left( {2 + x} \right) – \left( {x + 4} \right)\left( {x – 5} \right) = 5\)
Giải
a) Ta có: \(\left( {1 – 2x} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right) = 14\)
\( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\left( {x + 3} \right) – \left( {2x} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( x \right)\left( {2x – 1} \right) + \left( 1 \right)\left( {2x – 1} \right) = 14\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 3 – 2{x^2} – 6x + 2{x^2} – x + 2x – 1 = 14\\ \Leftrightarrow – 4x = 12 \Leftrightarrow x = – 3\end{array}\)
Vậy x = -3.
b) Ta có: \(\left( {3{x^2} + x + 2} \right) – \left( {2x + 1} \right)\left( {2 + x} \right) – \left( {x + 4} \right)\left( {x – 5} \right) = 5\)
\( \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + x + 2} \right) – \left( {\left( {2x} \right)\left( {2 + x} \right) + 1\left( {2 + x} \right)} \right) – \left( {x\left( {x – 5} \right) + 4\left( {x – 5} \right)} \right) = 5\)
\( \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + x + 2} \right) – \left( {4x + 2{x^2} + 2 + x} \right) – \left( {{x^2} – 5x + 4x – 20} \right) = 5\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + x + 2 – 2{x^2} – 2 – 5x – {x^2} + x + 20 = 5\)
\( \Leftrightarrow – 3x + 20 = 5 \Leftrightarrow x = 5\)
Vậy x = 5.
Bài 3: Tìm x, biết:
a) \(3{x^2} + 4\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) – 7x\left( {x – 1} \right) = x + 12\)
b) \(\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) + \left( {x – 5} \right)\left( {x – 2} \right) = \left( {3x – 5} \right)\left( {x – 4} \right)\)
c) \(\left( {{x^{3n}} + {y^{3n}}} \right)\left( {{x^{3n}} – {y^{3n}}} \right) = – {x^{6n}} – {y^{6n}}\) (với n > 0)
d) \(2\left( {{x^{2n}} + 2{x^n}{y^n} + {y^{2n}}} \right) – {y^n}\left( {4{x^n} + {y^n}} \right) = {y^{2n}}\) (với n > 0)
Giải
a) Ta có: \(3{x^2} + 4\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) – 7x\left( {x – 1} \right) = x + 12\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4\left( {{x^2} – x + x – 1} \right) – 7{x^2} + 7x = x + 12\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4{x^2} – 4x + 4x – 4 – 7{x^2} + 7x = x + 12\)
\( \Leftrightarrow – 4 + 7x = x + 12 \Leftrightarrow 6x = 16 \Leftrightarrow x = \frac{{16}}{6}\)
Vậy \(x = \frac{{16}}{6}\)
b) Ta có: \(\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) + \left( {x – 5} \right)\left( {x – 2} \right) = \left( {3x – 5} \right)\left( {x – 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x + 8x + 12 + {x^2} – 5x – 2x + 10 = 3{x^2}5x – 12 + 20\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x + 22 = 3{x^2} – 17x + 20\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x + 22 – 3{x^2} – 17x – 20 = 0\)
\(21x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{2}{{21}}\)
Vậy \(x = – \frac{2}{{21}}\).
c) Ta có: \(\left( {{x^{3n}} + {y^{3n}}} \right)\left( {{x^{3n}} – {y^{3n}}} \right) = – {x^{6n}} – {y^{6n}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^{6x}} + {y^{3n}}{x^{3n}} – {x^{3n}}{y^{3n}} – {y^{6n}}} \right) = – {x^{6n}} – {y^{6n}}\)
\( \Leftrightarrow {x^{6n}} – {y^{6n}} = – {x^{6n}} – {y^{6n}} \Leftrightarrow {x^{6n}} + {x^{6n}} = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{x^{6n}} = 0 \Leftrightarrow {x^{6n}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy x = 0
Xem thêm