Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

A. Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng $x=x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{3-x}{x+2}$

Ta có: $\underset{x\to -2^{+}}{lim}\frac{3x-2}{x+2}=+\mathrm{\infty }$

Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2.

2. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng $y=y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$.

Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=3$

Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng $y=ax+b(a\ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$.

Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số $y=f(x)=x+\frac{1}{x+2}$

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f(x)-x\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x+2}=0$

Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x.

Sơ đồ tư duy Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

B. Bài tập Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ\{1} và có $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty ,\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2; y = −2.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 2 và x = −2.

D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty ,\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$

Suy ra y = 2; y = −2 là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. 3.

B. 2.

C. 4.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2;\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=5;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 2; y = 5 và một tiệm cận đứng là x = 1.

Bài 3. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau

a) $y=\frac{2x-1}{2x+4}$

b) $y=\frac{3x+2}{x-2}$

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Có $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{2x+4}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{2x+4}=-\infty$

Do đó x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{2x+4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{2+\frac{4}{x}}=1$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{2x+4}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{2+\frac{4}{x}}=1$

Do đó y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{3x+2}{x-2}=+\infty ;\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{3x+2}{x-2}=-\infty$

Do đó x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x+2}{x-2}=3;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+2}{x-2}=3$

Do đó y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 4. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau

a) $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-x-1}{x-1}$

b) $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2+3x+2}{x+1}$

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-x-1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-x-1}{x-1}=+\infty$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^2-x-1}{x-1}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x-1}\right)=0$

Tương tự $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=1$; $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=0$

Do đó y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2+3x+2}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x^2+3x+2}{x+1}=+\infty$

Do đó x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+3x+2}{x^2+x}=2$

$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-2x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{2x^2+3x+2}{x+1}-2x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{x-1}=1$

Tương tự $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=2$; $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-2x\right]=1$

Do đó y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 5. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được tính theo công thức $c\left(t\right)=\frac{t}{t^2+1}$ (mg/l). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = c(t).

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = (0; +∞).

$\underset{t\to +\infty }{\lim }c\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{t}{t^2+1}=0$

Do đó y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Lý thuyết Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ