Lý thuyết Toạ độ của vectơ trong không gian (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

A. Lý thuyết Toạ độ của vectơ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz.

2. Tọa độ của điểm và vecto

a) Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu$$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$$thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.

b) Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}$. Nếu $\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$ thì ta gọi bộ ba số $\left(a_1;a_2;a_3\right)$ là tọa độ của $\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz và viết $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ hoặc $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a) Tìm tọa độ của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}.$

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(x_{A^{\prime }}-x_A;y_{A^{\prime }}-y_A;z_{A^{\prime }}-z_A)=(4;0;-1)$.

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ = (x – 3; y – 2; z – 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}.$

Do đó $\{\begin{array}{l}x-3=4\\ y-2=0\\ z-5=-1\end{array}$ hay x = 7, y = 2, z = 4.

Vậy B’(7;2;4).

Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).

Sơ đồ tư duy Toạ độ của vectơ trong không gian

B. Bài tập Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{OM}=\left(2;-3;-1\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$.

B. M(−2; 3; 1).

C. M(−1; −3; 2).

D. $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{OM}=\left(2;-3;-1\right)$ nên $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$. Tọa độ của điểm M là

A. M(0; 2; 1).

B. M(2; 0; 1).

C. M(2; 1; 0).

D. M(0; 1; 2).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ $\iff$ M(2; 1; 0).

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A’ trùng với gốc O và các đỉnh D’, B’, A lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz và A’D’ = 2; A’B’ = 3 và A’A = 5. Tìm tọa độ của các đỉnh D’, B’, A’ và C đối với hệ tọa độ đó.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{O{D}^{‘}}=2\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}$. Suy ra D'(2; 0; 0).

$\overrightarrow{O{B}^{‘}}=0\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}$. Suy ra B'(0; 3; 0).

$\overrightarrow{OA}=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$. Suy ra A(0; 0; 5).

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{O{D}^{‘}}+\overrightarrow{O{B}^{‘}}+\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$.

Suy ra C(2; 3; 5).

Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’, với O là gốc tọa độ, A(2; 0; 0), C(0; 6; 0), O'(0; 0; 4). Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Xác định tọa độ các vectơ $\overrightarrow{O{A}^{‘}},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O{C}^{‘}}$

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i};\overrightarrow{OC}=6\overrightarrow{j};\overrightarrow{O{O}^{‘}}=4\overrightarrow{k}$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

$\overrightarrow{O{A}^{‘}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{O}^{‘}}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{k}$. Suy ra $\overrightarrow{O{A}^{‘}}=\left(2;0;4\right)$ .

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}$. Suy ra $\overrightarrow{OB}=\left(2;6;0\right)$.

$\overrightarrow{O{C}^{‘}}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{O}^{‘}}=6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$. Suy ra $\overrightarrow{O{C}^{‘}}=\left(0;6;4\right)$.

Bài 5. Hình a mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình b (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới. Hãy xác định tọa độ của điểm A, B.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm A là (x_A; y_A; z_A). Vì chiều rộng của sân là 6,1 m nên x_A = 6,1.

Do nửa chiều dài của sân là 6,7 m nên y_A = 6,7.

Điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) nên z_A = 0.

Vậy A(6,1; 6,7; 0).

Độ dài đoạn thẳng AB là 1,55 m nên điểm B có tọa độ là (6,1; 6,7; 1,55).

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Lý thuyết Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Lý thuyết Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm