Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

A. Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên

a) Định nghĩa

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu. $R=u_{k+1}-u_1$

b) Ý nghĩa

– Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc và có thể dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

– Khoảng biến thiên chưa phản ánh đầy đủ mức độ phân tán của phần lớn các  số liệu. Hơn nữa giá trị của R thường tăng vọt khi xuất hiện giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Do đó, để phản ánh mức độ phân tán của số liệu, người ta còn dùng các số đặc trưng khác

2. Khoảng tứ phân vị

a) Định nghĩa

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu ${\mathrm{\Delta }}_Q$, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là: ${\mathrm{\Delta }}_Q=Q_3-Q_1$

b) Ý nghĩa

b) Ý nghĩa

– Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.

– Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung xung quanh trung vị.

– Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu. Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu $x>Q_3+1,5\mathrm{\Delta }Q$ hoặc $x<Q_1-1,5\mathrm{\Delta }Q$.

– Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm không bị ảnh hưởng nhiều bởi các giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu.

Sơ đồ tư duy Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

B. Bài tập Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 1. Giá trị x được gọi là giá trị ngoại lệ nếu:

A. x < Q₃ + 1,5∆_Q.

B. x < Q₃ − 1,5∆_Q.

C. x > Q₁ − 1,5∆_Q.

D. x > Q₃ + 1,5∆_Q.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q.

Bài 2. Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 80.

B. 60.

C. 90.

D. 100.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 100 – 0 = 100.

Bài 3. Chiều cao của 42 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét) được cho trong bảng sau:

Nhóm	[40; 45)	[45; 50)	[50; 55)	[55; 60)	[60; 65)	[65; 70)
Tần số	5	10	7	9	7	4

Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 42.

Giả sử x₁; x₂; …; x₄₂ là chiều cao của 42 mẫu cây được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là x₁₁ mà x₁₁ thuộc nhóm [45; 50) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [45; 50).

$Q_1=45+\frac{\frac{42}{4}-5}{10}.\left(50-45\right)=47,75$.

Tứ phân vị thứ ba là x₃₂ mà x₃₂ $\in$ [60; 65) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [60; 65).

$Q_3=60+\frac{\frac{42}{4}.3-31}{7}.\left(65-60\right)\approx 60,36$.

Có ∆_Q = 60,36 – 47,75 = 12,6.

Bài 4. Một câu lạc bộ thể dục thể thao đã ghi lại số giờ các thành viên của mình sử dụng cơ sở vật chất của câu lạc bộ để tập luyện trong tháng. Kết quả thu được trong bảng sau:

Hãy tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 85.

Giả sử x₁; …; x₈₅ là thời gian sử dụng cơ sở vật chất của câu lạc bộ để tập luyện trong tháng của 85 thành viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là $\frac{x_{21}+x_{22}}{2}$ mà x₂₁; x₂₂ $\in$ [5; 9) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [5; 9).

Ta có $Q_1=5+\frac{\frac{85}{4}-10}{14}.\left(9-5\right)=\frac{115}{14}$.

Tứ phân vị thứ ba là $\frac{x_{64}+x_{65}}{2}$ mà x₆₄; x₆₅ $\in$ [21; 25) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [21; 25).

Ta có $Q_3=21+\frac{\frac{85}{4}.3-62}{23}.\left(25-21\right)=\frac{490}{23}$.

Do đó ${\Delta }_Q=\frac{490}{23}-\frac{115}{14}=\frac{4215}{322}\approx 13$.

Bài 5. Số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mua sách của 60 khách hàng ở một cửa hàng trong một ngày được thống kê lại dưới bảng sau:

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Trong 60 khách hàng mua sách có 1 khách hàng trả 40 nghìn đồng. Hỏi số tiền của khách hàng này có phải là giá trị ngoại lệ không?

Hướng dẫn giải

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 90 – 40 = 50.

Cỡ mẫu n = 60.

Giả sử x₁; x₂; …; x₆₀ là số tiền của 60 khách hàng mua sách được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là $\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$ mà x₁₅; x₁₆ $\in$ [60; 70) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [60; 70).

Ta có $Q_1=60+\frac{\frac{60}{4}-9}{19}.\left(70-60\right)=\frac{1200}{19}$.

Tứ phân vị thứ ba là $\frac{x_{45}+x_{46}}{2}$ mà x₄₅; x₄₆ $\in$ [70; 80) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [70; 80).

Ta có $Q_3=70+\frac{\frac{60}{4}.3-28}{23}.\left(80-70\right)=\frac{1780}{23}$.

Do đó ${\Delta }_Q=\frac{1780}{23}-\frac{1200}{19}=\frac{6220}{437}\approx 14,23$.

b) Vì $Q_1-1,5{\Delta }_Q=\frac{1200}{19}-1,5.14,23\approx 41,81>40$ nên số tiền mua sách của khách này là giá trị ngoại lệ.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Lý thuyết Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Lý thuyết Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm