Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Cánh diều 2024) | Lý thuyết Toán 12

Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. – Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\le$ M với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f(x_0)$ = M. Kí hiệu M = $\underset{x\in D}{max}f(x)$ hoặc M = $\underset{D}{max}f(x)$ – Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) $\ge$ m với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f(x_0)$ = m. Kí hiệu m = $\underset{x\in D}{min}f(x)$ hoặc m = $\underset{D}{min}f(x)$

 2. Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó. Căn cứ vào bảng biến thiên, ta tìm được GTLN và GTNN (nếu có) của hàm số

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn $\left[a;b\right]$: Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n\in (a;b)$, tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại Tính $f(x_1),f(x_2),...,f(x_n),f(a)$ và $f(b)$ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M = $\underset{\left[a;b\right]}{max}f(x)$; m = $\underset{\left[a;b\right]}{min}f(x)$

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=x^4-4x^2+3$ trên đoạn $\left[0;4\right]$

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-8x=4x(x^2-2);y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$ (vì $x\in \left[0;4\right]$)

            y(0) = 3; y(4) = 195; y($\sqrt{2}$) = -1

Do đó: $\underset{\left[0;4\right]}{max}y=y(4)=195$; $\underset{\left[0;4\right]}{min}y=y(\sqrt{2})=-1$

B. Bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1. Cho hàm số y = f(x), x ∈ [– 2; 3] có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 3].

Giá trị S = M + m là

A. 3.

B. 1.

C. 6.

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị, ta có M = 3 và m = – 2. Suy ra, S = M + m = 3 + (– 2) = 1.

Bài 2. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (x – 3)² ∙ e^x trên đoạn [2; 4] là

A. 0.

B. e².

C. e³.

D. e⁴.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có f'(x) = 2(x – 3) ∙ e^x + (x – 3)² ∙ e^x = (x – 3) ∙ e^x ∙ (x – 1).

Khi đó, trên khoảng (2; 4), f'(x) = 0 khi x = 3.

f(2) = e²; f(3) = 0; f(4) = e⁴.

Vậy $\underset{\left(2;4\right)}{\max }f\left(x\right)=e^4$ tại x = 4.

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 2 + $\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; + ∞).

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $y=x-5+\frac{1}{x}$ với x ∈ (0; + ∞).

Ta có y’ = 1 $-\frac{1}{x^2}$. Khi đó, trên khoảng (0; + ∞), y’ = 0 khi x = 1.

Ngoài ra, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có tại x = 1.

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) f(x) = x³ – 3x + 5 trên đoạn [0; 2];

b) f(x) = x – sin 2x trên đoạn [0; π].

Hướng dẫn giải

a) Ta có f'(x) = 3x² – 3. Khi đó trên khoảng (0; 2), f'(x) = 0 khi x = 1.

f(0) = 5; f(1) = 3; f(2) = 7.

Vậy $\underset{\left(0;2\right)}{\max }f\left(x\right)=7$ tại x = 2; $\underset{\left(0;2\right)}{\min }f\left(x\right)=3$ tại x = 1.

b) Ta có f'(x) = 1 – 2cos 2x.

Khi đó trên khoảng (0; π), f'(x) = 0 khi x = $\frac{\pi }{6}$ hoặc x = $\frac{5\pi }{6}$

f(0) = 0; $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$; f(π) = π.

Vậy $\underset{\left(0;\pi \right)}{\max }f\left(x\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{5\pi }{6}$; $\underset{\left(0;\pi \right)}{\min }f\left(x\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$

Bài 5. Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều rộng là x (m), chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h (m), có thể tích là $\frac{4}{3}$m³. Tìm chiều rộng của đáy hình chữ nhật để chi phí xây dựng là thấp nhất.

Hướng dẫn giải

Chiều dài hình chữ nhật là 2x (m).

Ta có $V=\frac{4}{3}\iff x\cdot 2x\cdot h=\frac{4}{3}\iff h=\frac{2}{3x^2}$

Diện tích xung quanh của bồn nước (không nắp) là

S = 2(xh + 2xh) + 2x² = 6xh + 2x² = $\frac{4}{x}$ + 2x² (m²) với x > 0.

Xét hàm số S(x) = $\frac{4}{x}$ + 2x² với x ∈ (0; + ∞).

Ta có $S‘\left(x\right)=-\frac{4}{x^2}+4x$ ; S'(x) = 0 ⇔ x = 1 ∈ (0; + ∞).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }S\left(x\right)=6$ tại x = 1.

Để chi phí xây dựng là thấp nhất thì diện tích xung quanh của bồn nước phải nhỏ nhất.

Vậy chiều rộng của đáy hình chữ nhật bằng 1 m thì chi phí xây dựng là thấp nhất.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Lý thuyết Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lý thuyết Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Toạ độ của vectơ