Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Cánh diều 2024)

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

A. Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{a} = (x; y; z)$ . và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Ta có:

· $\vec{a} + \vec{b} = (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$

· $\vec{a} - \vec{b} = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})$

$k \vec{a} = (k x; k y; k z)$ với k là một số thực

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B}), C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ . Khi đó:

· Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{2})$

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto

\vec{a} = (x; y; z)

và

\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})

được xác định bởi công thức

\vec{a} \cdot \vec{b} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

4. Cách tìm tọa độ của một vecto vuông góc với hai vecto cho trước

Cho hai vecto $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ không cùng phương.

Khi đó, vecto $\vec{w} = (y z^{'} - y^{'} z; z x^{'} - z^{'} x; x y^{'} - x^{'} y)$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$

B. Bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{a}$ = (2; 3; −2); $\vec{b}$ = (3; 1; −1). Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ − 2 $\vec{b}$ là:

A. (−4; 1; 0).

B. (4; 1; 0).

C. (6; 5; −4).

D. (6; −5; 4).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{a}$ = (2; 3; −2); 2 $\vec{b}$ = (6; 2; −2).

Vậy $\vec{a}$ − 2 $\vec{b}$ = (2 – 6; 3 – 2; −2 – (−2)) = (−4; 1; 0).

Bài 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{a}$ = (2; 0; −2); $\vec{b}$ = (3; 4; −1). cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) là:

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: cos( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$ = $\frac{2.3 + 0.4 + (- 2) . (- 1)}{\sqrt{2^{2} + 0^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{3^{2} + 4^{2} + {(- 1)}^{2}}}$ = $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .

Bài 3:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; −1; 1), B(1; −1; 2) và C(3; 0; 2).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u}$ = $\vec{A B}$ − 2 $\vec{A C}$ .

b) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải

a) Ta có $\vec{A B}$ = (−1; 0; 1),

$\vec{A C}$ = (1; 1; 1) ⇒ 2 $\vec{A C}$ = (2; 2; 2).

$\vec{u}$ = $\vec{A B}$ − 2 $\vec{A C}$ = ( −1 − 2; 0 – 2; 1 – 2) = (−3; −2; −1).

Vậy $\vec{u}$ = (−3; −2; −1).

b) Ta có: $\vec{A B}$ . $\vec{A C}$ = −1.1 + 0.1 + 1.1 = 0.

⇒ $\vec{A B}$ vuông góc với $\vec{A C}$ .

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Bài 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u}$ = (−2; 3; 1) và $\vec{v}$ = (1; 2; 3).

Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\vec{w}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Lời giải

Ta có: [ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ] = $(|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}|)$ = (7; 7; −7).

Chọn $\vec{w}$ = (7; 7; −7).

Khi đó, vectơ $\vec{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Bài 5: Một vật có trọng lượng 360 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm P(−2; 0; 0), Q(1; $\sqrt{3}$ ; 0), R(1; − $\sqrt{3}$ ; 0) còn đầu kia gắn với vật tại điểm S(0; 0;−2) như hình dưới. Gọi F₁, F₂; F₃ lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp RS, QS và PS. Tìm tọa độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ .

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Lời giải

Theo giả thiết, ta có các điểm:

S(0; 0; −2), P(−2; 0; 0), Q(1; $\sqrt{3}$ ; 0), R(1;- $\sqrt{3}$ ; 0).

Khi đó: $\vec{S P}$ = )-2; 0; 2), $\vec{S Q} = (1; \sqrt{3}; 2)$ , $\vec{S R} = (1; - \sqrt{3}; 2)$ .

Suy ra: $| \vec{S P} | = | \vec{S Q} | = | \vec{S R} | = 2 \sqrt{2} .$

Lại có: $\vec{P Q} = (3; \sqrt{3}; 0)$ , $\vec{Q R} = (0; - 2 \sqrt{3}; 0)$ ; $\vec{P R} = (3; - \sqrt{3}; 0)$ .

Vì $| \vec{R P} | = | \vec{P Q} | = | \vec{Q R} | = 2 \sqrt{3}$ nên tam giác PQR đều. Do đó, $| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} | = | \vec{F_{3}} |$ .

Vậy tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

Ta có: $\vec{F_{1}}$ = c $\vec{S R}$ = (c; −c $\sqrt{3}$ ; 2c).

$\vec{F_{2}}$ = c $\vec{S Q}$ = (c; c $\sqrt{3}$ ; 2c).

$\vec{F_{3}}$ = c $\vec{S P}$ = (−2c; 0; 2c).

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}}$ = (0; 0; 6c).

Mặt khác, ta có: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{F}$ , trong đó $\vec{F}$ = (0; 0; −360) là trọng lực của vật.

Suy ra 6c = −360 thì c = −60.

Vậy tọa độ của các lực là:

$\vec{F_{1}}$ $(- 60; 60 \sqrt{3}; - 120)$ ; $\vec{F_{2}}$ $(- 60; - 60 \sqrt{3}; - 120)$ ; $\vec{F_{3}} (120; 0; - 120)$ .

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lý thuyết Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Toạ độ của vectơ

Lý thuyết Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Lý thuyết Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy