Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 27. Thể tích

Học cách cân đo đong đếm không gian bên trong các khối đa diện, từ lăng trụ đứng đến các khối chóp phức tạp, ứng dụng trong kiến trúc và đời sống.

🟡 Trung bình 90 phút

Lý thuyết Thể tích

1 1. Khối lăng trụ

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy $B$ nhân với chiều cao $h$:

$V = B \cdot h$

Hình hộp chữ nhật: $V = a \cdot b \cdot c$.
Hình lập phương: $V = a^3$.

2 2. Khối chóp và Chóp cụt

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$:

$V = \frac{1}{3} B \cdot h$

Thể tích chóp cụt có hai đáy diện tích $B_1, B_2$:

$V = \frac{1}{3} h (B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$

3 3. Tỉ số thể tích (Định lý Simson)

Chỉ dùng cho chóp tam giác $S.ABC$. Nếu $A', B', C'$ lần lượt nằm trên $SA, SB, SC$:

$\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA} \cdot \dfrac{SB'}{SB} \cdot \dfrac{SC'}{SC}$

Các dạng bài tập

1 Thể tích khối lăng trụ

Phương pháp giải

Xác định diện tích đa giác đáy và chiều cao (đoạn vuông góc nối hai đáy). Lưu ý đơn vị đo.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Tính thể tích lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$.

GIẢI

Đáy là tam giác đều cạnh $a \Rightarrow S = a^2\sqrt{3}/4$.
Chiều cao $h = a$ (cạnh bên).
$V = a \cdot (a^2\sqrt{3}/4) = a^3\sqrt{3}/4$.

VÍ DỤ 2

Tính thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước $3, 4, 5$.

GIẢI

$V = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$.

VÍ DỤ 3

Tính V biết diện tích xung quanh.

GIẢI

$h = S_{xq} / P_{đáy}$. Sau đó tính V.

2 Thể tích khối chóp

Phương pháp giải

Cần tìm chân đường cao $H$. Nếu các cạnh bên bằng nhau thì $H$ là tâm ngoại tiếp đáy. Nếu mặt bên vuông góc đáy thì đường cao nằm trong mặt bên đó.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Cho chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc đáy, đáy vuông tại $B$. $SA=a, AB=a, BC=2a$.

GIẢI

$S_{ABC} = 1/2 \cdot a \cdot 2a = a^2$.
$V = 1/3 \cdot a^2 \cdot a = a^3/3$.

VÍ DỤ 2

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$.

GIẢI

$h = a\sqrt{6}/3$. $S = a^2\sqrt{3}/4 \Rightarrow V = a^3\sqrt{2}/12$.

VÍ DỤ 3

Tính thể tích chóp có cạnh bên tạo với đáy góc $60^\circ$.

GIẢI

$h = R \cdot \tan 60$.

3 Tỉ số thể tích và các bài toán tổng hợp

Phương pháp giải

Chia nhỏ khối đa diện thành các khối chóp tam giác để áp dụng định lý Simson hoặc dùng tính chất tỉ lệ chiều cao và diện tích đáy.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Cho khối chóp $S.ABC$. Gọi $M, N$ là trung điểm $SA, SB$. Tính tỉ số $V_{S.MNC} / V_{S.ABC}$.

GIẢI

$1/2 \cdot 1/2 \cdot 1 = 1/4$.

VÍ DỤ 2

Tính thể tích khối đa diện tạo bởi các trung điểm của các cạnh hình lập phương.

GIẢI

Dùng phương pháp bù trừ thể tích.

VÍ DỤ 3

Tỉ số thể tích khối chóp tứ giác cắt bởi mặt phẳng.

GIẢI

Phải chia thành hai khối chóp tam giác.

Sẵn sàng thử thách bản thân?

Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài

Làm bài tập ngay

Các bài học trong chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

🟡 90p

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

🟡 90p

Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

🟡 90p

Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26. Khoảng cách

Bài 27. Thể tích

Bài tập cuối chương VII

🔴 120p