Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nắm bắt 'chìa khóa' để giải quyết các bài toán không gian phức tạp thông qua quan hệ giữa đường thẳng 'chọc' thẳng góc vào một mặt phẳng.

🟡 Trung bình 90 phút

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với Mặt phẳng

1 1. Định nghĩa và Điều kiện

Định nghĩa: $d \perp (P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
Điều kiện: Nếu $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ cùng nằm trong $(P)$ thì $d \perp (P)$.

2 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại $O$ nhưng không vuông góc. Góc giữa $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của nó lên $(P)$.

Nếu $d \perp (P)$ thì góc bằng $90^\circ$. Nếu $d // (P)$ hoặc $d \subset (P)$ thì góc bằng $0^\circ$.

3 3. Định lý ba đường vuông góc

Cho đường thẳng $a$ không vuông góc với $(P)$ và đường thẳng $b \subset (P)$. Khi đó, $b \perp a \Leftrightarrow b \perp a'$ (với $a'$ là hình chiếu của $a$ lên $(P)$).

Các dạng bài tập

1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp giải

Tìm hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng mà đường thẳng kia vuông góc với cả hai.
Ví dụ: Để chứng minh $SA \perp (ABC)$, ta chứng minh $SA \perp AB$ và $SA \perp AC$.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$ và $SA \perp (ABC)$. Chứng minh $BC \perp (SAB)$.

GIẢI

Ta có: $BC \perp AB$ (đáy vuông tại $B$).
$BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABC)$).
Mà $AB, SA$ cắt nhau trong $(SAB)$. Vậy $BC \perp (SAB)$.

VÍ DỤ 2

Chứng minh $SC \perp (ABC)$ nếu $SA=SB=SC$ và đáy đều.

GIẢI

Sai, hình chiếu của $S$ là tâm đáy.

VÍ DỤ 3

Chứng minh đường cao của hình chóp vuông góc với đáy.

GIẢI

Thường dựa vào giả thiết các cạnh bên bằng nhau hoặc mặt bên vuông góc đáy.

2 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm giao điểm $O$ của $d$ và $(P)$.
Bước 2: Tìm hình chiếu $H$ của một điểm $A$ thuộc $d$ lên $(P)$.
Bước 3: Góc cần tìm là $\widehat{AOH}$.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$, đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA = a\sqrt{3}$. Tính góc giữa $SC$ và đáy.

GIẢI

Giao điểm là $C$. Hình chiếu của $S$ lên đáy là $A$ (do $SA \perp đáy$).
Góc là $\widehat{SCA}$.
$AC = a\sqrt{2}$. $\tan \widehat{SCA} = SA/AC = a\sqrt{3}/a\sqrt{2} = \sqrt{6}/2$.

VÍ DỤ 2

Tính góc giữa cạnh bên và đáy của tứ diện đều.

GIẢI

Gọi $O$ là tâm đáy, góc $\cos \alpha = AO/SA = (a\sqrt{3}/3)/a = \sqrt{3}/3$.

VÍ DỤ 3

Tính góc giữa đường chéo hình lập phương và mặt đáy.

GIẢI

$\tan \alpha = a / a\sqrt{2} = 1/\sqrt{2}$.

3 Ứng dụng Định lý ba đường vuông góc

Phương pháp giải

Xác định rõ đường thẳng $a$ (đường xiên), $a'$ (hình chiếu) và $b$ (nằm trong đáy) để chứng minh vuông góc nhanh chóng.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Cho $S.ABC$ có $SA$ vuông góc đáy. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Chứng minh $BC \perp SH$.

GIẢI

Vẽ $AD \perp BC$. Hình chiếu của $SD$ lên đáy là $AD$. Vì $BC \perp AD$ nên $BC \perp SD$ (3 đường vuông góc). Chỗ này dùng trực tâm sẽ suy ra $BC \perp SH$.

VÍ DỤ 2

Chứng minh các cạnh đối diện của tứ diện đều vuông góc.

GIẢI

Dựa vào hình chiếu đỉnh lên tâm đáy.

VÍ DỤ 3

Xác định hình chiếu của đỉnh chóp.

GIẢI

Dùng tính chất vuông góc.