Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tìm hiểu cách 'áp' các hình khối lên mặt phẳng để đo đạc góc độ, sự nghiêng lệch, từ đó làm chủ các bài toán định lượng trong không gian.

🟡 Trung bình 90 phút

Lý thuyết Phép chiếu và Góc

1 1. Phép chiếu vuông góc

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương chiếu vuông góc với $(P)$ được gọi là phép chiếu vuông góc.

Hình chiếu của một điểm là chân đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng.
Hình chiếu của một đường thẳng không vuông góc với $(P)$ là một đường thẳng.

2 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Chi tiết)

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$:

Nếu $d \perp (P)$, $\alpha = 90^\circ$.
Nếu $d // (P)$ hoặc $d \subset (P)$, $\alpha = 0^\circ$.
Trường hợp còn lại, $\alpha$ là góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của nó trên $(P)$.

Công thức: $\sin \alpha = \dfrac{h}{l}$ (với $h$ là khoảng cách từ điểm trên $d$ đến $(P)$, $l$ là độ dài đoạn xiên).

3 3. Định lý ba đường vuông góc (Nhắc lại quan trọng)

Cho đường thẳng $a$ không vuông góc $(P)$, $a'$ là hình chiếu của $a$ trên $(P)$, $b$ là đường thẳng nằm trong $(P)$.

$b \perp a \Leftrightarrow b \perp a'$

Các dạng bài tập

1 Xác định hình chiếu của một hình

Phương pháp giải

Tìm hình chiếu của từng đỉnh/điểm đặc biệt của hình đó lên mặt phẳng chiếu rồi nối lại.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Tìm hình chiếu của tam giác $SBC$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

GIẢI

Hình chiếu của $S$ là $A$. Hình chiếu của $B$ là $B$. Hình chiếu của $C$ là $C$.
Vậy hình chiếu của $\triangle SBC$ là $\triangle ABC$.

VÍ DỤ 2

Tìm hình chiếu của đường chéo $AC'$ của hình lập phương lên mặt đáy $(ABCD)$.

GIẢI

Hình chiếu của $A$ là $A$, của $C'$ là $C$. Vậy hình chiếu là đường chéo $AC$.

VÍ DỤ 3

Xác định hình chiếu của một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

GIẢI

Là một điểm (chính là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng).

2 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải

Tìm giao điểm $\rightarrow$ tìm hình chiếu $\rightarrow$ tính góc trong tam giác vuông.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy tam giác đều cạnh $a$, $SA = a$ và $SA \perp (ABC)$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$.

GIẢI

Góc là $\widehat{SBA}$. $\tan \widehat{SBA} = SA/AB = a/a = 1 \Rightarrow 45^\circ$.

VÍ DỤ 2

Tính góc giữa cạnh bên $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ trong hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bằng nhau và đáy là hình vuông.

GIẢI

Cần tìm hình chiếu của $C$ lên $(SAB)$. Đây là bài toán khó hơn, hình chiếu là trung điểm $AB$ (nếu có tính chất đối xứng).

VÍ DỤ 3

Tính $\sin$ của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

GIẢI

Dùng tỉ số đối/huyền trong tam giác vuông tạo bởi đường xiên, hình chiếu và đường cao.

3 Vận dụng định lý ba đường vuông góc

Phương pháp giải

Sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc tính góc mà không cần vẽ trực tiếp hình chiếu phức tạp.

Ví dụ minh họa

VÍ DỤ 1

Cho $SA \perp (ABC)$, $BC \perp AB$. Chứng minh $BC \perp SB$.

GIẢI

$AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$. Vì $BC \perp AB$ nên theo định lý 3 đường vuông góc, $BC \perp SB$.

VÍ DỤ 2

Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian.

GIẢI

Kẻ đường vuông góc và dùng định lý 3 đường vuông góc để xác định chân đường cao.

VÍ DỤ 3

Chứng minh $BD \perp SC$ trong hình chóp có $SA \perp đáy$, đáy là hình vuông.

GIẢI

$BD \perp AC$ (hình chiếu của $SC$ là $AC$). Suy ra $BD \perp SC$.

Sẵn sàng thử thách bản thân?

Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài

Làm bài tập ngay

Các bài học trong chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

🟡 90p

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

🟡 90p

Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

🟡 90p

Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26. Khoảng cách

Bài 27. Thể tích

Bài tập cuối chương VII

🔴 120p