Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Bài 26. Khoảng cách
Nắm vững phương pháp đo đạc độ dài ngắn nhất giữa các đối tượng hình học, kỹ năng cốt lõi để tính toán thể tích và tối ưu hóa không gian thực tế.
🔴 Khó 90 phút
Lý thuyết Khoảng cách
1 1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và mặt phẳng
- Điểm $M$ đến đường $d$: Là độ dài đoạn $MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $d$.
- Điểm $M$ đến mặt $(P)$: Là độ dài đoạn $MO$ với $O$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$. Ký hiệu: $d(M, (P))$.
2 2. Khoảng cách giữa các yếu tố song song
- Đường $a // (P)$: $d(a, (P)) = d(M, (P))$ với $M$ bất kỳ thuộc $a$.
- Mặt $(P) // (Q)$: $d((P), (Q)) = d(M, (Q))$ với $M$ bất kỳ thuộc $(P)$.
3 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Là độ dài đoạn vuông góc chung $IJ$ của hai đường thẳng $a$ và $b$ ($I \in a, J \in b, IJ \perp a, IJ \perp b$).
Cách tính khác: $d(a, b) = d(a, (P))$ với $(P)$ là mặt phẳng chứa $b$ và song song với $a$.
Các dạng bài tập
1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất vuông góc để dựng chân đường cao, hoặc dùng công thức tỉ số khoảng cách: $d(A, (P)) / d(B, (P)) = AM / BM$ (với $M$ là giao của $AB$ và $(P)$).
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho chóp $S.ABC$ có $SA \perp đáy$, $SA=a$. Tính $d(S, (ABC))$.
GIẢI
Chính là độ dài $SA = a$.
VÍ DỤ 2
Cho $SA$ vuông góc đáy hình vuông cạnh $a$. Tính $d(A, (SBC))$.
GIẢI
Kẻ $AH \perp SB$. Vì $BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH$. Vậy $AH \perp (SBC)$.
$d = AH = (SA \cdot AB) / \sqrt{SA^2+AB^2}$.
$d = AH = (SA \cdot AB) / \sqrt{SA^2+AB^2}$.
VÍ DỤ 3
Tính khoảng cách từ tâm đáy đến mặt bên của chóp đều.
GIẢI
Kẻ đường vuông góc đến trung đoạn của mặt bên.
2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp giải
Cách 1: Tìm đoạn vuông góc chung.
Cách 2: Chuyển về khoảng cách từ đường đến mặt song song (thường dùng hơn).
Cách 2: Chuyển về khoảng cách từ đường đến mặt song song (thường dùng hơn).
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện $AB$ và $CD$ của tứ diện đều cạnh $a$.
GIẢI
Đoạn nối trung điểm hai cạnh đối chính là đoạn vuông góc chung. $d = a\sqrt{2}/2$.
VÍ DỤ 2
Trong hình lập phương, tính $d(AB, CC')$.
GIẢI
$BC$ là đoạn vuông góc chung vì $BC \perp AB$ và $BC \perp CC'$. $d = a$.
VÍ DỤ 3
Tính $d(SB, AC)$ trong chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc đáy.
GIẢI
Dựng mặt phẳng chứa $SB$ và song song $AC$ hoặc ngược lại.
3 Khoảng cách giữa các đối tượng song song
Phương pháp giải
Chọn một điểm 'đẹp' (thường là chân đường cao) trên đối tượng này để tính đến đối tượng kia.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Tính khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ đứng.
GIẢI
Chính là chiều cao $h$ (độ dài cạnh bên).
VÍ DỤ 2
Tính $d(AB, (CDD'C'))$ trong hình hộp chữ nhật.
GIẢI
Chọn điểm $A$, $d = AD$.
VÍ DỤ 3
Hai mặt phẳng song song cách nhau bao nhiêu?
GIẢI
Bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung nối hai mặt.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngayCác bài học trong chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
22
Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc
🟡 90p
23
Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
🟡 90p
24
Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
🟡 90p
25
Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc
🟡 90p
26
Bài 26. Khoảng cách
🔴 90p
27
Bài 27. Thể tích
🟡 90p
27.5
Bài tập cuối chương VII
🔴 120p