Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc
Nghiên cứu cách xác định góc giữa các đường thẳng không cắt nhau trong không gian và điều kiện để chúng vuông góc, đặt nền móng cho hình học trực giao.
🟡 Trung bình 90 phút
Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc
1 1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$. Tích vô hướng được tính bởi:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với $d$.
2 2. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ (ký hiệu $(a, b)$) là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm $O$ và lần lượt song song với $a$ và $b$.
- Số đo góc $\alpha$ luôn thỏa mãn $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$.
- Nếu $\vec{u}, \vec{v}$ là các VTCP thì $\cos(a, b) = |\cos(\vec{u}, \vec{v})|$.
3 3. Hai đường thẳng vuông góc
- Định nghĩa: Hai đường thẳng $a, b$ vuông góc nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Ký hiệu: $a \perp b$.
- $a \perp b \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (với $\vec{u}, \vec{v}$ là VTCP).
- Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Các dạng bài tập
1 Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp giải
Chọn một điểm thích hợp (thường là đỉnh của hình) rồi vẽ các đường thẳng song song để đưa về góc trong một tam giác cụ thể. Sử dụng định lý hàm số cosin để tính.
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa $AB$ và $B'C$.
GIẢI
Vì $AB // DC$ nên góc giữa $(AB, B'C)$ bằng góc giữa $(DC, B'C)$.
Xét tam giác $DCC'$ vuông tại $C$, $B'C$ là đường chéo... Cách dễ hơn: $AB // A'B'$, góc giữa $(A'B', B'C)$ là góc $\widehat{A'B'C} = 90^\circ$ (vì $A'B' \perp (BCC'B'))$.
Xét tam giác $DCC'$ vuông tại $C$, $B'C$ là đường chéo... Cách dễ hơn: $AB // A'B'$, góc giữa $(A'B', B'C)$ là góc $\widehat{A'B'C} = 90^\circ$ (vì $A'B' \perp (BCC'B'))$.
VÍ DỤ 2
Tính góc giữa hai đường chéo của hai mặt kề nhau trong hình lập phương.
GIẢI
Ví dụ $AC$ và $AD'$. Vẽ $D'C'$ song song... KQ: $60^\circ$.
VÍ DỤ 3
Tính $cos$ góc giữa $AB$ và $CD$ trong tứ diện đều.
GIẢI
$90^\circ$ (Do tính chất tứ diện đều các cặp cạnh đối diện vuông góc).
2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp giải
Cách 1: Tính góc giữa chúng trực tiếp bằng $90^\circ$.
Cách 2: Sử dụng tích vô hướng của hai VTCP bằng 0.
Cách 3: Sử dụng quan hệ song song (nếu $a // a'$ và $a' \perp b$ thì $a \perp b$).
Cách 2: Sử dụng tích vô hướng của hai VTCP bằng 0.
Cách 3: Sử dụng quan hệ song song (nếu $a // a'$ và $a' \perp b$ thì $a \perp b$).
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB \perp AC$ và $AB \perp AD$. Chứng minh $AB \perp CD$.
GIẢI
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 - 0 = 0$.
Vậy $AB \perp CD$.
Vậy $AB \perp CD$.
VÍ DỤ 2
Trong hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$ và $SA \perp (ABC)$. Chứng minh $BC \perp AB$.
GIẢI
Đây là giả thiết đáy là tam giác vuông tại $B$ nên hiển nhiên $BC \perp AB$.
VÍ DỤ 3
Chứng minh hai đường chéo của hình vuông vuông góc.
GIẢI
Áp dụng tích vô hướng trong mặt phẳng.
3 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Phương pháp giải
Phân tích các vectơ cần tính theo các vectơ cơ bản (như 3 cạnh chung đỉnh của hình chóp/lăng trụ).
Ví dụ minh họa
VÍ DỤ 1
Cho hình lập phương cạnh $a$. Tính $\vec{AB} \cdot \vec{AC'}$.
GIẢI
$\vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}) = \vec{AB}^2 + 0 + 0 = a^2$.
VÍ DỤ 2
Tính $\cos$ của góc giữa hai vectơ $\vec{a}(1, 0, 1)$ và $\vec{b}(0, 1, 1)$.
GIẢI
$(1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1) / (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 1/2 \Rightarrow 60^\circ$.
VÍ DỤ 3
Tính độ dài vectơ tổng.
GIẢI
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + 2\vec{a}\vec{b}$.
Sẵn sàng thử thách bản thân?
Hoàn thành 25 câu hỏi để củng cố kiến thức và kiểm tra mức độ hiểu bài
Làm bài tập ngayCác bài học trong chương: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian
22
Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc
🟡 90p
23
Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
🟡 90p
24
Bài 24. Phép chiếu vuông góc – Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
🟡 90p
25
Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc
🟡 90p
26
Bài 26. Khoảng cách
🔴 90p
27
Bài 27. Thể tích
🟡 90p
27.5
Bài tập cuối chương VII
🔴 120p