Giải SGK Toán 9 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 8

Giải bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 8

Bài tập

Bài 1 trang 79 Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có $\hat{C} = 80 ° .$ Số đo góc A là:

A. 80°.

B. 160°.

C. 40°.

D. 100°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên $\hat{A} + \hat{C} = 180 °$

Suy ra $\hat{A} = 180 ° - \hat{C} = 180 ° - 80 ° = 100 ° .$

Bài 2 trang 79 Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Chứng minh: $\hat{A I N} = \hat{P M N} = \frac{1}{2} \hat{P I N} .$

Lời giải:

Bài 2 trang 79 Toán 9 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 9

Vì đường tròn (I) lần lượt tiếp xúc với các cạnh CA, AB tại N, P nên AC, AB là hai tiếp tuyến của (I) cắt nhau tại A.

Do đó nên IA là phân giác của góc PIN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $\hat{A I N} = \frac{1}{2} \hat{P I N} . (1)$

Xét đường tròn (I) có $\hat{P I N}$ và $\hat{P M N}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung PN nên $\hat{P M N} = \frac{1}{2} \hat{P I N} . (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{A I N} = \hat{P M N} = \frac{1}{2} \hat{P I N} .$

Bài 3 trang 79 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AK, BM cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm N (khác A). Chứng minh:

a) $\hat{C B M} = \hat{C A K};$

b) Tam giác BHN cân;

c) BC là đường trung trực của HN.

Lời giải:

Bài 3 trang 79 Toán 9 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 9

a) Xét ∆ABC có các đường cao AK, BM cắt nhau tại trực tâm H nên AK ⊥ BC và BM ⊥ AC.

Vì ∆AKC vuông tại K có $\hat{K A C} + \hat{C} = 90 °$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

Vì ∆BMC vuông tại M có $\hat{C B M} + \hat{C} = 90 °$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

Suy ra $\hat{C B M} = \hat{C A K} .$

b) Xét đường tròn (O) có $\hat{C A N}, \hat{C B N}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN nên $\hat{C A N} = \hat{C B N}$ hay $\hat{C A K} = \hat{K B N} .$

Mà $\hat{C B M} = \hat{C A K}$ (câu a) nên $\hat{K B N} = \hat{C B M}$ hay $\hat{K B N} = \hat{K B H} .$

Do đó BK là đường phân giác của góc HBN.

Xét ∆BHN có đường cao BK đồng thời là đường phân giác nên ∆BHN cân tại B.

c) Vì ∆BHN cân tại B (câu b) nên đường cao BK đồng thời là đường trung trực của HN.

Vậy BC đường trung trực của HN.

Bài 4 trang 79 Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai tia CD và BA cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\hat{I A D} = \hat{B C D};$

b) IA . IB = ID . IC.

Lời giải:

Bài 4 trang 79 Toán 9 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 9

a) Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó: $\hat{B A D} + \hat{B C D} = 180 °$

Mà $\hat{B A D} + \hat{I A D} = 180 °$ (hai góc kề bù) nên $\hat{I A D} = \hat{B C D} .$

b) Xét ∆IAD và ∆ICB, có:

$\hat{I A D} = \hat{I C D}$ (do $\hat{I A D} = \hat{B C D})$ và $\hat{B I C}$ là góc chung

Do đó ∆IAD ᔕ ∆ICB (g.g)

Suy ra $\frac{I A}{I C} = \frac{I D}{I B}$ (tỉ số đồng dạng) nên IA . IB = IC . ID.

Bài 5 trang 79 Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD và các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB và CD sao cho các tứ giác AMND, BMNC là các tứ giác nội tiếp. Chứng minh $\hat{A} + \hat{B} = 180 ° .$

Lời giải:

Bài 5 trang 79 Toán 9 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 9

Tứ giác AMND là tứ giác nội tiếp nên $\hat{M A D} + \hat{M N D} = 180 °$ (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp bằng 180°).

Tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp nên $\hat{M B C} + \hat{M N C} = 180 °$ (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp bằng 180°).

Suy ra $\hat{M A D} + \hat{M N D} + \hat{M B C} + \hat{M N C} = 180 ° + 180 ° = 360 ° .$

Lại có $\hat{M N D} + \hat{M N C} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{M A D} + \hat{M B C} = 360 ° - (\hat{M N D} + \hat{M N C}) = 360 ° - 180 ° = 180 ° .$

Vậy $\hat{A} + \hat{B} = 180 ° .$

Bài 6 trang 79 Toán 9 Tập 2: Khung thép của một phần sân khấu có dạng đường tròn bán kính 15 m. Mắt của một người thợ ở vị trí A nhìn hai đèn ở các vị trí B, C (A, B, C cùng thuộc đường tròn bán kính 15 m), bằng cách nào đó, người thợ thấy rằng góc nhìn $\hat{B A C} = 30 °$ (Hình 31). Khoảng cách giữa hai vị trí B, C bằng bao nhiêu mét?

Bài 6 trang 79 Toán 9 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 9

Lời giải:

Bài 6 trang 79 Toán 9 Tập 2 Cánh diều | Giải Toán 9

Gọi O là tâm đường tròn bán kính 15 m.

Xét đường tròn (O) có $\hat{B O C}, \hat{B A C}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BC nên $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B O C},$ suy ra $\hat{B O C} = 2 \hat{B A C} = 60 ° .$

Xét ∆OBC có OB = OC = 15 m (điểm B và điểm C cùng nằm trên (O; 15 m)) và $\hat{B O C} = 60 °$ nên ∆OBC là tam giác đều.

Suy ra BC = OB = 15 m.

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B, C bằng 15 mét.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§2. Tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài tập cuối chương 8

§1. Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn

§2. Phép quay

Bài tập cuối chương 9

§1. Hình trụ

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy