Giải SGK Toán 9 Bài 4 (Cánh diều): Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Khởi động trang 67 Toán 9 Tập 1: Khí trong động cơ giãn nở từ áp suất $p_1^{}$ và thể tích $V_1^{}$ đến áp suất $p_2^{}$ và thể tích $V_2^{}$ thỏa mãn đẳng thức: $\frac{p_1^{}}{p_2^{}}={\left(\frac{V_1^{}}{V_2^{}}\right)}_{}^2$. Có thể tính được thể tích $V_1^{}$ theo $p_1^{},p_2^{}$ và $V_2^{}$ được hay không?

Lời giải:

Có thể tính được thể tích $V_1^{}$ theo $p_1^{},p_2^{}$ và $V_2^{}$.

Hoạt động 1 trang 67 Toán 9 Tập 1: Tìm số thích hợp cho “?”:

a. $\sqrt{7_{}^2}=?$;

b. $\sqrt{{\left(-9\right)}_{}^2}=?$;

c. $\sqrt{a_{}^2}=?$ với a là một số cho trước.

Lời giải:

a. $\sqrt{7_{}^2}=\left|7\right|=7$;

b. $\sqrt{{\left(-9\right)}_{}^2}=\left|-9\right|=9$;

c. $\sqrt{a_{}^2}=\left|a\right|$.

Luyện tập 1 trang 67 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{x_{}^2+6x+9}$ với $x<-3$;

b. $\sqrt{y_{}^4+2y_{}^2+1}$.

Lời giải:

a. $\sqrt{x_{}^2+6x+9}=\sqrt{{\left(x+3\right)}_{}^2}=\left|x+3\right|=-x-3$ (vì $x+3<0$ khi $x<-3$).

b. $\sqrt{y_{}^4+2y_{}^2+1}=\sqrt{{\left(y_{}^2+1\right)}_{}^2}=\left|y_{}^2+1\right|=y_{}^2+1$ (vì $y_{}^2+1>0$ với mọi số thực y).

Hoạt động 2 trang 68 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a. $\sqrt{16.0,25}$ và $\sqrt{16}.\sqrt{0,25}$;

b. $\sqrt{a.b}$ và $\sqrt{a}.\sqrt{b}$ với a, b là hai số không âm.

Lời giải:

a. $\sqrt{16.0,25}=\sqrt{16}.\sqrt{0,25}$.

b. $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$.

Luyện tập 2 trang 68 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{9x_{}^4}$;

b. $\sqrt{3a_{}^3}.\sqrt{27a}$ với $a>0$.

Lời giải:

a. $\sqrt{9x_{}^4}=\sqrt{9}.\sqrt{x_{}^4}=3.\left|x_{}^2\right|=3x_{}^2$.

b. $\sqrt{3a_{}^3}.\sqrt{27a}=\sqrt{3a_{}^3.27a}=\sqrt{81a_{}^4}=\sqrt{81}.\sqrt{a_{}^4}=3.\left|a_{}^2\right|=3a_{}^2$.

Hoạt động 3 trang 68 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a. $\sqrt{\frac{49}{169}}$ và $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}$;

b. $\sqrt{\frac{a}{b}}$ và $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với a là số không âm, b là số dương.

Lời giải:

a. $\sqrt{\frac{49}{169}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}$.

b. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Luyện tập 3 trang 69 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}_{}^2}}$ với $x>3$;

b. $\frac{\sqrt{48x_{}^3}}{\sqrt{3x_{}^5}}$ với $x>0$.

Lời giải:

a. $\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}}=\frac{3}{\left|x-3\right|}=\frac{3}{x-3}$ (vì $x>3$ nên $x-3>0$).

b. $\frac{\sqrt{48x_{}^3}}{\sqrt{3x_{}^5}}=\sqrt{\frac{48x_{}^3}{3x_{}^5}}=\sqrt{\frac{16}{x_{}^2}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x_{}^2}}=\frac{4}{\left|x\right|}=\frac{4}{x}$ (vì $x>0$).

Hoạt động 4 trang 69 Toán 9 Tập 1: Xét phép biến đổi: $\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}_{}^2}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: $\frac{5}{\sqrt{3}};\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải:

+ Mẫu thức của phân số $\frac{5}{\sqrt{3}}$ là $\sqrt{3}$.

+ Mẫu thức của phân số $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ là 3.

Luyện tập 4 trang 69 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{x_{}^2-1}{\sqrt{x-1}}$ với $x>1$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}$$=\frac{\left(x^2-1\right).\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}.\sqrt{x-1}}$$=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\sqrt{x-1}}{x-1}$$=\left(x+1\right)\sqrt{x-1}$.

Luyện tập 5 trang 69 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$ với $x>1$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$$=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}$$=\sqrt{x}+1$.

Luyện tập 6 trang 70 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ với $x\ge 0$.

Lời giải:

Ta có: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$$=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}$$=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x}$$=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$.

Bài tập

Bài 1 trang 70 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{{\left(5-x\right)}_{}^2}$ với $x\ge 5$;

b. $\sqrt{{\left(x-3\right)}_{}^4}$;

c. $\sqrt{{\left(y+1\right)}_{}^6}$ với $y<-1$.

Lời giải:

a. $\sqrt{{\left(5-x\right)}_{}^2}=\left|5-x\right|=x-5$ (Vì $x\ge 5$ nên $5-x\le 0$).

b. $\sqrt{{\left(x-3\right)}_{}^4}=\left|{\left(x-3\right)}_{}^2\right|={\left(x-3\right)}_{}^2$.

c. $\sqrt{{\left(y+1\right)}_{}^6}=\sqrt{{\left[{\left(y+1\right)}_{}^3\right]}_{}^2}=\left|{\left(y+1\right)}_{}^3\right|=-{\left(y+1\right)}_{}^3$ (Vì $y<-1$ nên $y+1<0$ suy ra ${\left(y+1\right)}_{}^3<0$).

Bài 2 trang 70 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{25{\left(a+1\right)}_{}^2}$ với $a>-1$;

b. $\sqrt{x_{}^2{\left(x-5\right)}_{}^2}$ với $x>5$;

c. $\sqrt{2b}.\sqrt{32b}$ với $b>0$;

d. $\sqrt{3c}.\sqrt{27c_{}^3}$ với $c>0$.

Lời giải:

a. $\sqrt{25{\left(a+1\right)}_{}^2}=\sqrt{25}.\sqrt{{\left(a+1\right)}_{}^2}=5.\left|a+1\right|=5\left(a+1\right)$ (Vì $a>-1$ nên $a+1>0$).

b. $\sqrt{x_{}^2{\left(x-5\right)}_{}^2}=\sqrt{x_{}^2}.\sqrt{{\left(x-5\right)}_{}^2}=\left|x\right|.\left|x-5\right|=x\left(x-5\right)$ (Vì $x>5$ nên $x-5>0$).

c. $\sqrt{2b}.\sqrt{32b}=\sqrt{2b.32b}=\sqrt{64b_{}^2}=\sqrt{64}.\sqrt{b_{}^2}=8\left|b\right|=8b$ (Do $b>0$).

d. $\sqrt{3c}.\sqrt{27c_{}^3}=\sqrt{3c.27c_{}^3}=\sqrt{81c_{}^4}=\sqrt{81}.\sqrt{c_{}^4}=9.\left|c_{}^2\right|=9c_{}^2$.

Bài 3 trang 71 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt{\frac{{\left(3-a\right)}_{}^2}{9}}$ với $a>3$;

b. $\frac{\sqrt{75x_{}^5}}{\sqrt{5x_{}^3}}$ với $x>0$;

c. $\sqrt{\frac{9}{x_{}^2-2x+1}}$ với $x>1$;

d. $\sqrt{\frac{x_{}^2-4x+4}{x_{}^2+6x+9}}$ với $x\ge 2$.

Lời giải:

a. $\sqrt{\frac{{\left(3-a\right)}_{}^2}{9}}=\frac{\sqrt{{\left(3-a\right)}_{}^2}}{\sqrt{9}}=\frac{\left|3-a\right|}{3}=\frac{a-3}{3}$ (Vì $a>3$ nên $3-a<0$).

b. $\frac{\sqrt{75x_{}^5}}{\sqrt{5x_{}^3}}=\sqrt{\frac{75x_{}^5}{5x_{}^3}}=\sqrt{25x_{}^2}=\sqrt{25}.\sqrt{x_{}^2}=5\left|x\right|=5x$ (Do $x>0$).

c. $\sqrt{\frac{9}{x_{}^2-2x+1}}=\sqrt{\frac{9}{{\left(x-1\right)}_{}^2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{{\left(x-1\right)}_{}^2}}=\frac{3}{\left|x-1\right|}=\frac{3}{x-1}$ (Vì $x>1$ nên $x-1>0$).

d. $\sqrt{\frac{x_{}^2-4x+4}{x_{}^2+6x+9}}=\sqrt{\frac{{\left(x-2\right)}_{}^2}{{\left(x+3\right)}_{}^2}}=\frac{\sqrt{{\left(x-2\right)}_{}^2}}{\sqrt{{\left(x+3\right)}_{}^2}}=\frac{\left|x-2\right|}{\left|x+3\right|}=\frac{x-2}{x+3}$ (Vì $x\ge 2$ nên $x-2\ge 0,x+3>0$).

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu:

a. $\frac{9}{2\sqrt{3}}$;

b. $\frac{2}{\sqrt{a}}$ với $a>0$;

c. $\frac{7}{3-\sqrt{2}}$;

d. $\frac{5}{\sqrt{x}+3}$ với $x>0;x\ne 9$;

e. $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$;

g. $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$ với $x>0,x\ne 3$.

Lời giải:

a. $\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2.3}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

b. $\frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}.\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{a}$.

c. $\frac{7}{3-\sqrt{2}}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{9-2}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{7}=3+\sqrt{2}$.

d. $\frac{5}{\sqrt{x}+3}=\frac{5\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{5\left(\sqrt{x}-3\right)}{x-9}$.

e. $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2}=5-2\sqrt{6}$.

g. $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}=\frac{1\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{x-3}$.

Bài 5 trang 71 Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}$ với $a\ge 0,b\ge 0,a\ne b$.

Lời giải:

$\begin{array}{l}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}\\ =\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{2b}{a-b}\\ =\frac{a-\sqrt{ab}}{a-b}-\frac{\sqrt{ab}-b}{a-b}-\frac{2b}{a-b}\\ =\frac{a-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b-2b}{a-b}\\ =\frac{a-2\sqrt{ab}-b}{a-b}.\end{array}$

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§3. Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số

§4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Bài tập cuối chương 3

§1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

§2. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

§3. Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn