Sách bài tập Toán 12 Bài 18 (Kết nối tri thức): Xác suất có điều kiện

Giải SBT Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện

Bài 6.1 trang 42 SBT Toán 12 Tập 2: Cho P(A) = $\frac{2}{5}$ ; P(B) = $\frac{1}{3}$ ; P(A ∪ B) = $\frac{1}{2}$ . Tính P(A | B) và P(B | A)

Lời giải:

Ta có: P(AB) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$  = $\frac{7}{30}$ .

Từ đó, ta có: P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}=\frac{7}{30}:\frac{1}{3}=\frac{7}{10}$ .

                     P(B | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)}=\frac{7}{30}:\frac{2}{5}=\frac{7}{12}$ .

Bài 6.2 trang 42 SBT Toán 12 Tập 2: Một túi đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên xanh. Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Tùng rồi Tùng lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ.

Lời giải:

Gọi E là biến cố: “Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.

       $\overline{\mathrm{E}}$ là biến cố: “Cả hai viên bi rút ra đều là viên bi xanh”.

Gọi A là biến cố: “Sơn lấy được viên bi xanh”;

       B là biến cố: “Tùng lấy được viên bi xanh”.

Ta có: P($\overline{\mathrm{E}}$) = P(AB).

P(A) = $\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$ ; P(B | A) = $\frac{{\mathrm{C}}_2^1}{{\mathrm{C}}_7^1}=\frac{2}{7}$ .

P($\overline{\mathrm{E}}$) = P(AB) = P(BA) = P(A). P(B | A) = $\frac{3}{8}.\frac{2}{7}=\frac{3}{28}$ .

So đó P(E) = 1 – P($\overline{\mathrm{E}}$) = 1 − $\frac{3}{28}$  = $\frac{25}{28}$ .

Bài 6.3 trang 42 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp chứa 20 tấm thẻ đánh số {1; 2;…; 20}. Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ đưa cho Hà rồi Hà rút ngẫu nhiên tiếp một tấm thẻ. Tính xác suất để cả hai thẻ Hà nhận được đều ghi số nguyên tố”.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Nam rút được thẻ mang số nguyên tố”.

       B là biến cố: “Hà rút được thẻ mang số nguyên tố”.

Trong hộp có 8 tấm thẻ ghi số nguyên tố là: {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}, suy ra n(A) = 8.

Nếu A xảy ra thì trong hộp chỉ còn 19 thẻ với 7 thẻ ghi số nguyên tố. Do đó:

P(A) = $\frac{8}{20}$ ; P(B | A) = $\frac{7}{19}$ .

Vậy P(AB) = $\frac{8}{20}$ . $\frac{7}{19}$ = $\frac{14}{95}$  ≈ 0,1473.

Bài 6.4 trang 43 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp chứa 17 viên bi đỏ, 13 viên bi xanh. An lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Bình rồi Bình lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi Bình nhận được:

a) Đều là bi đỏ;

b) Là hai viên bi khác nhau.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi màu đỏ”.

           B là biến cố: “Bình lấy được viên bi màu đỏ”.

Do đó, ta có: P(AB) là xác suất hai viên bi Bình được đều là màu đỏ.

Ta có: Không gian mẫu là: n(Ω) = 17 + 13 = 30.

P(A) = $\frac{17}{30}$ ; P(B | A) = $\frac{16}{29}$ .

Vậy P(AB) = $\frac{17}{30}$ . $\frac{16}{29}$ = $\frac{136}{435}$  ≈ 0,3126.

b) Gọi $\overline{\mathrm{A}}$ là biến cố: “An lấy được viên bi màu xanh”.

            $\overline{\mathrm{B}}$ là biến cố: “Bình lấy được viên bi màu xanh”.

Ta có: P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{13}{30}$ ; P($\overline{\mathrm{B}}$) = $\frac{12}{29}$ .

Xác suất để cả hai lần lấy đều được viên bi màu xanh là: $\frac{13}{30}$ . $\frac{12}{29}$ = $\frac{26}{145}$ .

Xác suất để cả hai lần lấy được viên bi màu đỏ là:$\frac{136}{435}$ .

Như vậy, xác suất để hai lần lấy được 2 viên bi khác màu là:

1 – $\frac{136}{435}$  − $\frac{26}{145}$  = $\frac{221}{435}$  ≈ 0,508.

Bài 6.5 trang 43 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A và B với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng minh rằng nếu P(AB) = P(A).P(B) thì A và B độc lập.

Lời giải:

Giả sử: P(AB) = P(A).P(B) với P(A) > 0, P(B) > 0.

Ta có: P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}$  = P(A);

           P(B | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)}=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)}$  = P(B).

Vậy P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B).

Từ đó, việc xảy ra biến cố B không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A và ngược lại.

Do đó, A và B độc lập.

Bài 6.6 trang 43 SBT Toán 12 Tập 2: Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”;

B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”.

Chứng minh rằng:

a) Hai biến cố A và B độc lập;

b) Hai biến cố B và C độc lập.

c) Hai biến cố A và C độc lập.

Lời giải:

a) Ta có:

Các phần tử của biến cố A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất” là:

A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6)};

Các phần tử của biến cố B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

B = {(1; 2); (2; 2); (3; 2); (4; 2); (5; 2); (6; 2)}.

Có A ∩ B = {(1; 2)}.

Do đó, P(A) = $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ; P(B) = $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ; P(AB) = $\frac{1}{36}$ .

Nhận thấy $\frac{1}{36}$  = $\frac{1}{6}.\frac{1}{6}$  hay P(AB) = P(A).P(B).

Ta có: P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(A);

           P(B | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(B).

Vậy P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B).

Vậy hai biến cố A và B độc lập.

b) Các phần tử của biến cố C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7” là:

C = {(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)};

Có B ∩ C = {(5; 2)}.

Ta có: P(C) = $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ , P(BC) = $\frac{1}{36}$ .

Suy ra P(BC) = P(C).P(B).

Nhận thấy: P(B | C) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(B);

                   P(C | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(C).

Vậy P(B | C) = P(B), P(C | A) = P(C).

Vậy hai biến cố C và B độc lập.

c) Ta có: A ∩ C = {(1; 6)} nên P(AC) = $\frac{1}{6}$ .

Ta có: P(AC) = P(C).P(A).

Tương tự ý a, b ta suy ra A và C là hai biến cố độc lập.

Lý thuyết Xác suất có điều kiện

1. Xác suất có điều kiện

• Khái niệm xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, được tính khi biết biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu P(A| B).

• Công thức tính xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$ .

Ví dụ 1.  Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ?

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Lần thứ hai lấy được viên bi màu đỏ”.

Biến cố B: “Lần thứ nhất lấy được viên bi màu đỏ”.

Biến cố AB: “Cả hai lần đều lấy được bi màu đỏ”.

Ta cần tính P(A| B).

Ta có $P\left(B\right)=\frac{7}{10}$ ; $P\left(AB\right)=\frac{7}{10}.\frac{6}{9}=\frac{7}{15}$ .

Do đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{7}{15}:\frac{7}{10}=\frac{2}{3}$ .

2. Công thức nhân xác suất

Với hai biến cố A và B bất kì, ta có: P(AB) = P(B).P(A| B).

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

Nhận xét. Vì AB = BA nên với hai biến cố A và B bất kì, ta cũng có:

P(AB) = P(A).P(B| A).

Ví dụ 2. Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe Camry”. Bạn Minh Hiền được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen. Tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “nắp khoen đầu trúng thưởng”.

Biến cố B: “nắp khoen thứ hai trúng thưởng”.

Ta cần tính P(AB).

Khi bạn Minh Hiền rút thăm lần đầu tiên trúng thưởng thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng thưởng. Do đó $P\left(A\right)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ .

Khi biến cố A xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng.

Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{1}{19}$ .

Áp dụng công thức nhân xác suất ta có:

$P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)=\frac{1}{10}.\frac{1}{19}=\frac{1}{190}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 5

Bài 18: Xác suất có điều kiện

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6

Bài tập ôn tập cuối năm

Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2