Sách bài tập Toán 12 Bài 19 (Kết nối tri thức): Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Giải SBT Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 6.7 trang 44 SBT Toán 12 Tập 2: Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, tỉnh X có hai đội tuyển môn Toán và môn Ngữ văn tham dự. Đội tuyển Toán có 10 em, đội tuyển Ngữ văn có 8 em. Xác suất có giải của mỗi em trong đội tuyển Toán là 0,8; trong đội tuyển Ngữ văn là 0,7. Sau giải lấy ngẫu nhiên một em của tỉnh X trong số các em thi học sinh giỏi môn Toán và môn Ngữ văn. Tính xác suất để đó là một em được giải.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Em học sinh đó thuộc đội tuyển Toán”.

⇒ $\overline{\mathrm{A}}$  là biến cố: “Em học sinh đó thuộc đội tuyển Ngữ văn”.

        B là biến cố: “Em đó được giải”.

Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 10 + 8 = 18.

P(A) = $\frac{10}{18}$, P(B | A) = 0,8.

P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{8}{18}$, P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = 0,7.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A).P(B | A) + P($\overline{\mathrm{A}}$).P(B |$\overline{\mathrm{A}}$)

          = $\frac{10}{18}$ .0,8 + $\frac{8}{18}$.0,7

          = $\frac{34}{45}$ ≈ 0,7556.

Bài 6.8 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Giải ngoại hạng Anh có 20 đội. Hiện tại đội Tottenham xếp vị trí thứ 8. Trong trận tới nếu gặp đội xếp trên thì Tottenham có xác suất thắng là 0,2; xác suất thua là 0,5. Nếu gặp đội xếp dưới thì Tottenham có xác suất thắng là 0,5 và xác suất thua là 0,3.

Bốc thăm ngẫu nhiên một đội đấu với đội Tottenham trong trận tới. Tính xác suất để đội Tottenham hòa trong trận tới.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Tottenham gặp đội xếp trên”;

       B là biến cố: “Tottenham thắng”;

       C là biến cố: “Tottenham thua”;

       D là biến cố: “Tottenham hòa”.

Ta có: P(A) = $\frac{7}{19}$ ; P($\overline{\mathrm{A}}$) = 1 – $\frac{7}{19}$  = $\frac{12}{19}$ .

           P(D | A) = 1 – P(B | A) – P(C | A) = 1 – 0,2 – 0,5 = 0,3.

           P(D | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = 1 – P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) – P(C | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = 1 – 0,5 – 0,3 = 0,2.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(D) = P(A). P(D | A) + P($\overline{\mathrm{A}}$).P(D | $\overline{\mathrm{A}}$ )

         = $\frac{7}{19}$ .0,3 + $\frac{12}{19}$ .0,2 = $\frac{9}{38}$ ≈ 0,2368.

Bài 6.9 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Có hai túi kẹo. Túi I có 3 chiếc kẹo sô cô la đen và 2 chiếc kẹo sô cô la trắng. Túi II có 4 chiếc kẹo sô cô la đen và 3 chiếc kẹo sô cô la trắng. Từ túi I lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo. Nếu là chiếc kẹo sô cô la đen thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la đen vào túi II. Nếu là chiếc kẹo sô cô la trắng thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la trắng vào túi thứ II. Sau đó từ túi II lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo. Tính xác suất lấy được chiếc kẹo sô cô la trắng.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Lấy được chiếc kẹo sô cô la đen từ túi I”

       B là biến cố: “Lấy được chiếc kẹo sô cô la trắng từ túi II”.

Ta có: P(A) = $\frac{3}{5}$ , P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{2}{5}$ .

Nếu A xảy ra tức là lấy được chiếc kẹo sô cô la đen từ túi I thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la đen vào túi II. Khi đó túi II có 9 chiếc kẹo với 6 chiếc sô cô la đen, 3 chiếc kẹo sô cô la trắng.

Nếu A không xảy ra tức là chọn được chiếc kẹo sô cô la trắng từ túi I thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la trắng vào túi II. Khi đó túi II có 9 chiếc kẹo với 4 chiếc sô cô la đen, 5 chiếc sô cô la trắng.

Vậy P(B | A) = $\frac{3}{9}$ , P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = $\frac{5}{9}$ .

Theo công thức tính xác suất toàn phần, ta được:

P(B) = P(A).P(B | A) + P($\overline{\mathrm{A}}$).P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ )

        = $\frac{3}{5}.\frac{3}{9}+\frac{2}{5}.\frac{5}{9}=\frac{19}{45}$ .

Bài 6.10 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Trong một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất 40% sản phẩm. Phân xưởng II sản xuất 60% sản phẩm. Xác suất làm ra phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là 0,05 và 0,02. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì đó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó là do phân xưởng I sản xuất.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Sản phẩm của phân xưởng I”;

       B là biến cố: “Sản phẩm là phế phẩm”.

Khi đó, $\overline{\mathrm{A}}$ là biến cố: “Sản phẩm của phân xưởng II”

            $\overline{\mathrm{B}}$ là biến cố: “Sản phẩm không là phế phẩm”.

Ta có: P(A) = 0,4; P(B | A) = 0,05.

           P($\overline{\mathrm{A}}$) = 0,6; P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = 0,02.

Theo công thức Bayes, ta có: 

P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\overline{\mathrm{A}}\right)}$

              = $\frac{0,4.0,05}{0,4.0,05+0,6.0,02}=\frac{5}{8}$ .

Vậy xác suất để chọn được phế phẩm từ phân xưởng I là $\frac{5}{8}$ .

Bài 6.11 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Giá sách của Dũng có hai ngăn. Ngăn trên có 3 cuốn tiểu thuyết của các nhà văn Việt Nam và 2 cuốn tiểu thuyết của các nhà văn nước ngoài. Ngăn dưới chứa 4 cuốn tiểu thuyết của các nhà văn Việt Nam và 1 cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài.

Dũng chọn một cuốn sách để mang theo khi đi du lịch theo cách sau: Tung một con xúc xắc cân đối. Nếu số chấm xuất hiện là 1 hoặc 2 thì chọn ngăn trên, nếu trái lại thì chọn ngăn dưới. Sau đó từ ngăn đã chọn lấy ngẫu nhiên một cuốn sách. Biết rằng cuốn sách Dũng chọn được là cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài. Tính xác suất để cuốn sách thuộc ngăn trên.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Cuốn sách thuộc ngăn trên”.

       B là biến cố: “Cuốn sách là cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài”.

Do đó, P(A | B) là xác suất lấy được cuốn sách thuộc ngăn trên là cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài.

Ta có: P(A) = $\frac{1}{3}$ , P(B | A) = $\frac{2}{5}$ ,

           P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{2}{3}$ , P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = $\frac{1}{5}$ .

Từ đó theo công thức Bayes ta có:

P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\overline{\mathrm{A}}\right)}$

             = $\left(\frac{1}{3}.\frac{2}{5}\right):\left(\frac{1}{3}.\frac{2}{5}+\frac{2}{3}.\frac{1}{5}\right)$  = $\frac{1}{2}$ .

Bài 6.12 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 12 con thỏ trắng và 13 con thỏ nâu. Chuồng II có 14 con thỏ trắng và 11 con thỏ nâu. Tung một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt 6 chấm thì ta chọn chuồng I, nếu trái lại ta chọn chuồng II. Từ chuồng chọn được bắt ngẫu nhiên một con thỏ.

a) Giả sử bắt được con thỏ trắng. Tính xác suất để đó là con thỏ của chuồng II.

b) Giả sử bắt được con thỏ nâu. Tính xác suất để đó là con thỏ của chuồng I.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố: “Chọn được chuồng II”.

           B là biến cố: “Bắt được con thỏ trắng”.

Do đó, P(A | B)  là xác suất bắt được con thỏ trắng là con thỏ ở chuồng II.

           $\overline{\mathrm{A}}$  là biến cố: “Chọn được chuồng I”.

           $\overline{\mathrm{B}}$  là biến cố: “Bắt được con thỏ nâu”.

Ta có: P(A) = $\frac{5}{6}$; P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{1}{6}$; P(B | A) = $\frac{14}{25}$; P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = $\frac{12}{25}$ .

Theo công thức Bayes, ta có:

P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\overline{\mathrm{A}}\right)}$  = $\frac{35}{41}$ .

b) Ta cần tính P($\overline{\mathrm{A}}$  | $\overline{\mathrm{B}}$ ) là xác suất chọn được thỏ nâu ở chuồng I.

Ta có: P(A) = $\frac{5}{6}$; P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{1}{6}$; P( $\overline{\mathrm{B}}$ | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = $\frac{13}{25}$, P( $\overline{\mathrm{B}}$ | A) = $\frac{11}{25}$ .

Theo công thức Bayes, ta có:

P($\overline{\mathrm{A}}$ | $\overline{\mathrm{B}}$ ) = $\frac{\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}}|\overline{\mathrm{A}}\right)}{\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}}|\overline{\mathrm{A}}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}}|\mathrm{A}\right)}$  = $\frac{13}{68}$ .

Lý thuyết Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có công thức sau:

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$.

Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ 1. Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh Khánh Hòa nghiện thuốc lá là 20%, tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc lá là 15%. Hỏi khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh Khánh Hòa thì khả năng người đó bị bệnh phổi là bao nhiêu %?

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Người dân đó nghiện thuốc lá”.

Biến cố B: “Người dân đó bị bệnh phổi”.

Cần tính P(B).

Theo đề, ta có P(A) = 0,2$\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=0,8$ .

Lại có tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là 70%, trong số người không nghiện thuốc là là 15% nên P(B|A) = 0,7; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,15$ .

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$

$=0,2.0,7+0,8.0,15=0,26$

Vậy khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh Khánh Hòa thì khả năng người đó bị bệnh phổi là 26%.

Chú ý. Một phương pháp mô tả trực quan công thức xác suất toàn phần là dùng sơ đồ hình cây.

Ví dụ 2. Cho hai hộp U₁ và U₂ giống nhau về kích thước và màu sắc bên ngoài. Trong đó hộp U₁ chứa 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đen và hộp U₂ chứa 2 quả cầu trắng, 2 quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên 1 quả cầu. Tính xác suất để quả cầu lấy ra là màu trắng

Hướng dẫn giải

Ta dùng sơ đồ cây để minh họa như sau

Dựa vào sơ đồ cây, ta có xác suất để quả cầu lấy ra là màu trắng là:

$\frac{3}{5}.\frac{1}{2}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{11}{20}$.

2. Công thức Bayes

Cho A và B là hai biến cố, với P(B) > 0. Khi đó ta có công thức sau:

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}$.

Công thức trên có tên là công thức Bayes.

Chú ý. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$.

Do đó, công thức Bayes còn có thể viết dưới dạng

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}$ .

Ý nghĩa của công thức Bayes: Một nhà nghiên cứu quan tâm đến xác suất xảy ra của biến cố A. Theo tính toán ban đầu A có xác suất là P(A) = p. Sau đó, nhà nghiên cứu có được thông tin rằng: “Biến cố B đã xảy ra”. Với thông tin mới này, nhà nghiên cứu sẽ cập nhật hiểu biết của mình về khả năng xảy ra biến cố A, bằng cách tính P(A| B), xác suất của A khi biết B đã xảy ra. Công thức Bayes giúp ta tính P(A| B).

Ví dụ 3. Từ một hộp có 50 quả cầu trắng và 100 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Lần đầu rút được quả trắng”.

Biến cố B: “Lần thứ hai rút được quả trắng”.

Ta cần tính P(A|B).

Theo đề ta có: $P\left(A\right)=\frac{50}{150}$; $P\left(B|A\right)=\frac{49}{149}$.

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=\frac{100}{150}$; $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{50}{149}$.

Do đó $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)$

$=\frac{50}{150}.\frac{49}{149}+\frac{100}{150}.\frac{50}{149}=\frac{1}{3}$.

Suy ra

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}$ $=\frac{50}{150}.\frac{49}{149}:\frac{1}{3}=\frac{49}{149}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 5

Bài 18: Xác suất có điều kiện

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6

Bài tập ôn tập cuối năm

Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2