Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD.

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC. Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD.

Trả lời:

Gọi K là trung điểm của DC, AK cắt DF tại N.* Xét tứ giác AKCE, ta có: AB // CD hay AE // CKAE = 1/2 AB (gt)CK = 1/2 CD (theo cách vẽ)AB = CD ( Vì ABCD là hình vuông)Suy ra: AE = CK nên tứ giác AKCE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ AK// CEDF ⊥ CE (chứng minh trên) ⇒ AK ⊥ DF hay AN ⊥ DM* Trong $∆$DMC, ta có: DK = KC và KN // CMNên DN = MN (tính chất đường trung bình của tam giác)Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là đường trung tuyếnSuy ra: $∆$ADM cân tại AVậy AD = AM.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.

   Trả lời:

   Xét tứ giác AMDN, ta có: $\angle$(MAN) = ${90}^0$ (gt)DM ⊥ AB (gt)⇒$\angle$(AMD) = ${90}^0$DN ⊥ AC (gt) ⇒$\angle$(AND) = ${90}^0$Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật(vì có ba góc vuông), có đường chéo AD là đường phân giác của AVậy hình chữ nhật AMDN là hình vuông

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

   Trả lời:

   Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)AE = BK = CP = DQ (gt)Suy ra: EB = KC = PD = QA* Xét ΔAEQ và ΔBKE,ta có:AE = BK (gt)$\angle$(EAQ) = $\angle$(KBE) = ${90}^0$QA = EB (chứng minh trên)Suy ra: $△$AEQ = $△$BKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1)* Xét $△$BKEvà $△$CPK,ta có: BK = CP (gt)             $\angle$(KBE) = $\angle$(PCK) = ${90}^0$             EB = KC ( chứng minh trên)Suy ra: $△$BKE = $△$CPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)* Xét $△$CPK và $△$DQP,ta có: CP = DQ (gt)             $\angle$C = $\angle$D = ${90}^0$             DP = CK ( chứng minh trên)Suy ra: $△$CPK = $△$DQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQHay tứ giác EKPQ là hình thoi.Mặt khác: $△$AEQ = $△$BKE⇒ $\angle$(AQE) = $\angle$(BEK)Mà $\angle$(AQE) + $\angle$(AEQ) = ${90}^0$⇒ $\angle$(BEK) + $\angle$(AEQ) = ${90}^0$Ta có: $\angle$(BEK) + $\angle$(QEK) + $\angle$(AEQ ) = ${180}^0$Suy ra: $\angle$(QEK ) = ${180}^0$ -( $\angle$(BEK ) + $\angle$(AEQ) )= ${180}^0$ – ${90}^0$ = ${90}^0$Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Tứ giác AHIK là hình gì?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Tứ giác AHIK là hình gì?

   Trả lời:

   Ta có: IK // AC (gt) hay IK // AHLại có: IH // AB (gt) hay IH // AKVậy tứ giác AHIK là hình bình hàn

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Điểm I ở vị trí nào trên BC thì tứ giác AHIK là hình thoi
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Điểm I ở vị trí nào trên BC thì tứ giác AHIK là hình thoi

   Trả lời:

   Hình bình hành AHIK là hình thoi nên đường chéo AI là phân giác của $\angle$(BAC)Ngược lại nếu AI là phân giác của $\angle$(BAC) thì hình bình hành AHIK có đường chéo AI là phân giác của một góc nên hình bình hành AHIK là hình thoi.Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của $\angle$A với cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.

   Trả lời:

   Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật⇒ $\angle$A = ${90}^0$ suy ra $∆$ABC vuông tại A. Ngược lại ΔABC có $\angle$A = ${90}^0$Suy ra hình bình hành AHIK là hình chữ nhậtVậy nếu $∆$ABC vuông tại A thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====