Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của AC và EH.a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng;c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM⊥IK .

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi I là giao điểm của AB và DH, K là giao điểm của AC và EH.a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng;c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $\mathrm{AM}\perp \mathrm{IK}$ .

Trả lời:

a) Tứ giác AIHK là hình gì? Vì sao?$\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A $\Rightarrow \widehat{\mathrm{IAK}}={90}^{\circ }$.Vì D đối xứng với H qua AB nên $\widehat{\mathrm{IHA}}={90}^{\circ }$.Vì E đối xứng với H qua AC nên $\widehat{\mathrm{HKA}}={90}^{\circ }$.$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{IHA}}=\widehat{\mathrm{HKA}}={90}^{\circ }$Xét tứ giác AIHK có $\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{IHA}}=\widehat{\mathrm{HKA}}={90}^{\circ }$. Suy ra, tứ giác AIHK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).b) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.Vì D đối xứng với H qua AB nên $\Rightarrow \mathrm{\Delta ADH}$ cân tại A. Mà AI là đường cao trong $\mathrm{\Delta ADH}$ nên AI cũng là đường phân giác của góc $\mathrm{DAH}$ $\Rightarrow \widehat{\mathrm{DAI}}=\widehat{\mathrm{IAH}}$Tương tự, ta cũng chứng minh được: $\widehat{\mathrm{HAK}}=\widehat{\mathrm{KAE}}$ Ta có: $\widehat{\mathrm{DAE}}=\widehat{\mathrm{DAI}}+\widehat{\mathrm{IAH}}+\widehat{\mathrm{HAK}}+\widehat{\mathrm{KAE}}$$=2\left(\widehat{\mathrm{IAH}}+\widehat{\mathrm{HAK}}\right)={180}^{\circ }$ => D, A, E thẳng hàng.c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $\mathrm{AM}\perp \mathrm{IK}$.Gọi O là giao điểm của AM và IK. Gọi G là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AIHK.$\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A có AM là đường trung tuyến suy ra AM = BM = CM.$\Rightarrow \mathrm{\Delta AMC}$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết)$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{MCA}}$ (tính chất)Vì tứ giác AIHK là hình chữ nhật nên GA = GH = GI = GK.$\Rightarrow \mathrm{\Delta GKA}$ cân tại G $\Rightarrow \widehat{\mathrm{GKA}}=\widehat{\mathrm{GAK}}$.Ta lại có: $\left.\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{BAH}}={90}^{\circ }\\ \widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{HAC}}={90}^{\circ }\end{array}\right\}\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{HAC}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{GAK}}$$\Rightarrow \widehat{\mathrm{GKA}}=\widehat{\mathrm{ABH}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{OKA}}=\widehat{\mathrm{ABH}}$ Xét tam giác ABC có: $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{MCA}}={90}^{\circ }$Mà $\widehat{\text{OKA}}\text{=}\widehat{\text{ABH}}$ và $\widehat{\text{MAC}}\text{=}\widehat{\text{MCA}}$ nên ta có: $\widehat{\mathrm{OKA}}+\widehat{\mathrm{MAC}}={90}^{\circ }$Suy ra, $\widehat{\mathrm{OAK}}+\widehat{\mathrm{OKA}}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{\mathrm{AOK}}={90}^{\circ }$ Suy ra, $\mathrm{AM}\perp \mathrm{IK}$ tại O.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thực hiện các phép tính:a) 2x−32−4xx−3b) 15×3−10×2+x−2:x−2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện các phép tính:a) ${\left(2\mathrm{x}-3\right)}^2-4\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)$b) $\left(15{\mathrm{x}}^3-10{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2\right):\left(\mathrm{x}-2\right)$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:a) 3×2−12xy              b) x2+7x−2x+7c) 8×3−8×2+2x         d) x2−y2+12y−36
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:a) $3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{xy}$              b) ${\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-2\left(\mathrm{x}+7\right)$c) $8{\mathrm{x}}^3-8{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$         d) ${\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+12\mathrm{y}-36$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. a) Rút gọn phân thức: x3−36xx2+6x b) Thực hiện các phép tính, rút gọn: 2x−2+3x+2−18−5xx2−4
   
   

   Câu hỏi:
   

   a) Rút gọn phân thức: $\frac{{\mathrm{x}}^3-36\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}}$ b) Thực hiện các phép tính, rút gọn: $\frac{2}{\mathrm{x}-2}+\frac{3}{\mathrm{x}+2}-\frac{18-5\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-4}$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Một chủ cửa hàng đã mua 100 cái điện thoại với giá  triệu đồng mỗi cái. Ông đã bán 75 cái với giá 6,2 triệu đồng một cái. Sau đó, ông giảm giá để bán hết số điện thoại còn lại. Vậy ông phải bán mỗi cái điện thoại còn lại với giá bao nhiêu để có lợi nhuận đạt tỉ lệ 20%?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một chủ cửa hàng đã mua 100 cái điện thoại với giá  triệu đồng mỗi cái. Ông đã bán 75 cái với giá 6,2 triệu đồng một cái. Sau đó, ông giảm giá để bán hết số điện thoại còn lại. Vậy ông phải bán mỗi cái điện thoại còn lại với giá bao nhiêu để có lợi nhuận đạt tỉ lệ 20%?

   Trả lời:

   Số tiền ông nhận được khi bán 75 cái điện thoại là: $6,2.75=465$ (triệu đồng)Số tiền ông nhận được nếu lợi nhuận đạt 20% là: $500.120\%=600$ (triệu đồng)Khi đó, số tiền ông nhận được khi bán 75 cái điện thoại là: $600-465=135$ (triệu đồng)Giá mỗi cái điện thoại là: $135:25=5,4$ (triệu đồng)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Có 2 khu dân cư A và B cùng nằm bên bờ sông MN (như hình vẽ). Người ta muốn xây dựng một trạm cấp nước  trên bờ sông MN để cung cấp cho hai khu dân cư nói trên. Gọi C là địa điểm đặt trạm. Hãy xác định vị trí của C trên bờ sông MN để tổng độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai khu dân cư A và B là ngắn nhất (giả thiết các đường ống dẫn nước là đường thẳng AC, BC).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Có 2 khu dân cư A và B cùng nằm bên bờ sông MN (như hình vẽ). Người ta muốn xây dựng một trạm cấp nước  trên bờ sông MN để cung cấp cho hai khu dân cư nói trên. Gọi C là địa điểm đặt trạm. Hãy xác định vị trí của C trên bờ sông MN để tổng độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai khu dân cư A và B là ngắn nhất (giả thiết các đường ống dẫn nước là đường thẳng AC, BC).

   Trả lời:

   Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua MN và D là giao điểm của MN và BA’.Vì $\mathrm{C}\in \mathrm{MN}$ nên CA = CA’.Ta có: $\mathrm{CA}+\mathrm{CB}=\mathrm{CA}‘+\mathrm{CB}\le \mathrm{BA}‘$$\Rightarrow \mathrm{CA}‘+\mathrm{CB}\le \mathrm{DA}‘+\mathrm{BD}$.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\mathrm{C}\equiv \mathrm{D}$.Vậy khi $\mathrm{C}\equiv \mathrm{D}$ thì tổng độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai khu dân cư A và B là ngắn nhất.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====