Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. Điểm M nằm trên (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại D và C. Chứng minh:a, AD + BC = CDb, COD^=900c, AC.BD = OA2d, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Câu hỏi:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. Điểm M nằm trên (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại D và C. Chứng minh:a, AD + BC = CDb, $\widehat{COD}={90}^0$c, AC.BD = $O{A}^2$d, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Trả lời:

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyếna, Ta có: AC = CM; BD = DM => AC+BD=CDb, $\widehat{COA}=\widehat{COM};\widehat{DOM}=\widehat{DOB}$=> $\widehat{COD}={90}^0$c, AC.BD = MC.MD = $M{O}^2=R^2$d, Gọi I là trung điểm của CD. Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông và đường trung bình trong hình thang để suy ra đpcm

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. M là điểm trên (O) sao cho tiếp tuyên tại M cắt Ax, By tại D và C. Đường thẳng AD cắt BC tại Na, Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn. Chỉ ra bán kính của đường tròn đób, Chứng minh OC và BM song songc, Tìm vị trí điểm M sao cho SACDB nhỏ nhấtd, Chứng minh MN và AB vuông góc nhau
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. M là điểm trên (O) sao cho tiếp tuyên tại M cắt Ax, By tại D và C. Đường thẳng AD cắt BC tại Na, Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn. Chỉ ra bán kính của đường tròn đób, Chứng minh OC và BM song songc, Tìm vị trí điểm M sao cho S_ACDB nhỏ nhấtd, Chứng minh MN và AB vuông góc nhau

   Trả lời:

   a, Từ CA, CM là tiếp tuyến của (O) chứng minh được A,C,M,O$\in$đường tròn bán kính $\frac{OC}{2}$b, Chứng minh OC,BM cùng vuông góc với AM . từ đó suy ra OC//BM
   c, $S_{ACDB}=\frac{\left(AC+BD\right)AB}{2}=\frac{AD.AB}{2}$=> $S_{ACDB}$ nhỏ nhất khi CD có độ dài nhỏ nhấtHay M nằm chính giữa cung ABd, Từ tính chất hai giao tuyến => AC = CM và BM=MD, kết hợp với AC//BDta chứng minh được $\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{MD}$ => MN//BD => MN$\perp$AB

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểma, Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàngb, Chứng minh BD.CE = DE24c, Gọi M là trung điểm CH. Đường tròn tâm M đường kính CH cắt (Ạ) tại N với N khác H. Chứng minh CN và AM song song 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểma, Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàngb, Chứng minh BD.CE = $\frac{D{E}^2}{4}$c, Gọi M là trung điểm CH. Đường tròn tâm M đường kính CH cắt (Ạ) tại N với N khác H. Chứng minh CN và AM song song 

   Trả lời:

   a, Chú ý: Ab là phân giác góc $\widehat{DAM}$; AC là phân giác góc $\widehat{EAM}$ từ đó $\widehat{DAE}={180}^0$b, Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến và hệ thức về đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền trong tam giác vuông BAC => BD.CE = BH.CH = $C{H}^2=\frac{D{E}^2}{4}$c, ∆HNC nội tiếp đường tròn (M) đường kính HC => HN$\perp$NCChứng minh AN là tiếp tuyến của (M)Do đó AM$\perp$HN => AM//NC

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giáca, Chứng minh bốn điểm B, C, I, K cùng thuộc đường tròn (O; IO) vói O là trung điểm của đoạn thẳng IKb, Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)c, Biết AB = AC = 20 cm và BC = 24 cm tính bán kính của (O)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giáca, Chứng minh bốn điểm B, C, I, K cùng thuộc đường tròn (O; IO) vói O là trung điểm của đoạn thẳng IKb, Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)c, Biết AB = AC = 20 cm và BC = 24 cm tính bán kính của (O)

   Trả lời:

   a, Sử dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài tại 1 điểm ta có:$\widehat{IBK}=\widehat{ICK}={90}^0$=> B, C, I, K$\in$đường tròn tâm O đường kính IKb, Chứng minh $\widehat{ICA}=\widehat{OCK}$ từ đó chứng minh được $\widehat{OCA}={90}^0$
   Vậy AC là tiếp tuyến của (O)c, Áp dụng Pytago vào tam giác vuông HAC  => AH=16cm. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COA => OH=9cm,OC=15cm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A trên (O), kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điếm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP, gọi K là trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB, kẻ AC⊥MB, BD⊥MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. Chứng minh:a, Bốn điểm A, M, B, O cùng thuộc một đường trònb, Năm điểm O, K, A, M, B cùng thuộc một đường trònc, OI.OM = R2 và OI.IM = IA2d, OAHB là hình thoie, O, H, M thẳng hàng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A trên (O), kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điếm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP, gọi K là trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB, kẻ AC$\perp$MB, BD$\perp$MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. Chứng minh:a, Bốn điểm A, M, B, O cùng thuộc một đường trònb, Năm điểm O, K, A, M, B cùng thuộc một đường trònc, OI.OM = $R^2$ và OI.IM = $I{A}^2$d, OAHB là hình thoie, O, H, M thẳng hàng

   Trả lời:

   a, HS tự làmb, Chú ý $\widehat{OKM}={90}^0$ và kết hợp ý a) => A,M,B,O,K$\in$đường tròn đường kính OMc, Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ( hoặc có thể chứng minh tam giác đồng dạng)d, Chứng minh OAHB là hình bình hành và chú ý A,B thuộc (O;R) suy ra OAHB là hình thoie, Chứng minh OH$\perp$AB, OMAB => O,H,M thẳng hàng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy P trên Ax (AP > R). Từ P kẻ tiếp tuyến PM với (O)a, Chứng minh bôn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường trònb, Chứng minh BM // OPc, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hànhd, Giả sử AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN cắt OM tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy P trên Ax (AP > R). Từ P kẻ tiếp tuyến PM với (O)a, Chứng minh bôn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường trònb, Chứng minh BM // OPc, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hànhd, Giả sử AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN cắt OM tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng

   Trả lời:

   a, HS tự làmb, Ta có OP$\perp$AM, BM$\perp$AM => BM//OPc, chứng minh ∆AOP = ∆OBN => OP=BNlại có BN//OP do đó OPNB là hình bình hànhd, Ta có ON$\perp$PI, PM$\perp$JO mà PM$\cap$ON = I => I là trực tâm ∆POJ => JI$\perp$PO(1)Chứng minh PAON hình chữ nhật => K trung điểm POLại có $\widehat{APO}=\widehat{OPI}=\widehat{IOP}$ => ∆IPO cân tại I => IKPO (2)Từ (1),(2) => J,I,K thẳng hàng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====