Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB (AC < BC). Trên dây CB lấy điểm H (với H khác C và B). AH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Kẻ HQ vuông góc với AB (với Q thuộc AB)a, Chứng minh tứ giác BDHQ nội tiếpb, Biết CQ cắt (O) tại điểm thứ hai F, chứng minh DF // HQc, Chứng minh H cách đều các đường thẳng CD, CQ và DQd, Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của F trên AC và CB. Chứng minh MN, AB, DF đồng quy

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB (AC < BC). Trên dây CB lấy điểm H (với H khác C và B). AH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Kẻ HQ vuông góc với AB (với Q thuộc AB)a, Chứng minh tứ giác BDHQ nội tiếpb, Biết CQ cắt (O) tại điểm thứ hai F, chứng minh DF // HQc, Chứng minh H cách đều các đường thẳng CD, CQ và DQd, Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của F trên AC và CB. Chứng minh MN, AB, DF đồng quy

Trả lời:

a, Tứ giác BDQH nội tiếp vì $\widehat{BDH}+\widehat{BQH}={180}^0$b, Vì tứ giác ACHQ nội tiếp => $\widehat{CAH}=\widehat{CQH}$
Vì tứ giác ACDF nội tiếp  => $\widehat{CAD}=\widehat{CFD}$Từ đó có $\widehat{CQH}=\widehat{CFD}$ mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DF//HQc, Ta có $\widehat{HQD}=\widehat{HBD}$ (câu a)$\widehat{HBD}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{CD}$$\widehat{CAD}=\widehat{CQH}$ (ACHQ cũng nội tiếp)=> $\widehat{HQD}=\widehat{HQC}$ => QH là phân giác $\widehat{CQD}$
Mặt khác chứng minh được CH là phân giác góc $\widehat{QCD}$Trong tam giác QCD có H là giao của ba đường phân giác nên H là tâm đường tròn nội tiếp => H cách đều 3 cạnh CD, CQ, DQd, Vì CMFN là hình chữ nhật nên MN và CF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Trong tam giác FCD có MN//CD và MN đi qua trung điểm CF nên MN đi qua trung điểm DFMặt khác AB đi qua trung điểm của DF nên 3 đường thẳng MN, AB, DF đồng quy

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Với x ≥ 0, x ≠ 9, cho các biểu thức: P = 2xx+3+xx-3-3x+3x-9 và Q = x+1x-3 a, Tính giá trị của Q tại x=7-43 b, Rút gọn P c, Tìm x để M≥-23 biết M=PQ d, Đặt A = x.M+4x+7x+3. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với x ≥ 0, x ≠ 9, cho các biểu thức:
   P = $\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}–3}–\frac{3x+3}{x–9}$ và Q = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}–3}$
   a, Tính giá trị của Q tại $x=7–4\sqrt{3}$
   b, Rút gọn P
   c, Tìm x để $M\ge \frac{–2}{3}$ biết $M=\frac{P}{Q}$
   d, Đặt A = $x.M+\frac{4x+7}{\sqrt{x}+3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của A

   Trả lời:

   a, Từ $x=7–4\sqrt{3}$ tìm được $\sqrt{x}=2–\sqrt{3}$. Thay vào Q và tính ta được Q = $\frac{\sqrt{3}–3}{1+\sqrt{3}}$
   b, P = $\frac{3\sqrt{x}+3}{9–x}$
   c, Tìm được $M=\frac{P}{Q}=\frac{–3}{\sqrt{x}+3}$
   Giải $M\ge \frac{–2}{3}$ ta tìm được $\frac{9}{4}\le x\ne 9$
   d, Tìm được A = $\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}$
   Ta có A = $\frac{\left(x+1\right)+6}{\sqrt{x}+3}\ge \frac{2\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+3}=2$
   Từ đó đi đến kết luận $A_{min}=2$ => x = 1
   * Cách khác: A = $\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}–3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}$
   = $\sqrt{x}+3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}–6\ge 2\sqrt{16}–6=2$
   => Kết luận

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm được 900 chi tiết máy trong một thời gian quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 10% so với kế hoạch. Vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ sản xuất phải làm bao nhiêu chi tiết máy?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
   Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm được 900 chi tiết máy trong một thời gian quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 10% so với kế hoạch. Vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ sản xuất phải làm bao nhiêu chi tiết máy?

   Trả lời:

   Gọi số chi tiết máy tổ một và hai sản xuất được lần lượt là x và y (x, y Î N*; x, y < 900)
   Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=900\\ 1,15x+1,1y=1010\end{array}\right.$
   Giải được x = 400 và y = 500
   Vậy theo kế hoạch tổ một và hai phải sản xuất lần lượt 400 và 500 chi tiết máy

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. a, Giải hệ phương trình: 3x-2y+1=15x+2y+1=3b, Cho phương trình x2 – (m – 1)x – m2 – 1 = 0 với x là ẩn và m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1+x2=22
   
   

   Câu hỏi:
   

   a, Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x–\frac{2}{y+1}=1\\ 5x+\frac{2}{y+1}=3\end{array}\right.$b, Cho phương trình $x^2$ – (m – 1)x – $m^2$ – 1 = 0 với x là ẩn và m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=2\sqrt{2}$

   Trả lời:

   a, Cách 1. Đặt $\frac{1}{y+1}=u$ ta được $\left\{\begin{array}{l}3x–2u=1\\ 5x+2u=3\end{array}\right.$Giải ra ta được $x=\frac{1}{2};u=\frac{1}{4}$Từ đó tìm được y = 3Cách 2. Cộng vế với vế hai phương trình, ta được 8x = 4Từ đó tìm được $x=\frac{1}{2}$ và y = 3b, Vì x₁x₂ = -m² – 1 < 0 “m nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt và trái dấu.Cách 1. Giả sử  $x_1$ < 0 < $x_2$Từ giả thiết thu được – $x_1$+ $x_2$ = $2\sqrt{2}$Biến đổi thành ${\left(x_1+x_2\right)}^2–4x_1{x}_2=8$Áp dụng định lý Vi-ét, tìm được m = 1 hoặc m = $\frac{–3}{5}$Cách 2. Bình phương hai vế của giả thiết và biến đổi về dạng${\left(x_1+x_2\right)}^2–2x_1{x}_2+2\left|x_1{x}_2\right|=8$=> ${\left(m–1\right)}^2+4\left(m^2+1\right)=8$Do $\left|x_1{x}_2\right|=–x_1{x}_2$Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta cũng tìm được m = 1 hoặc m = $\frac{–3}{5}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho x, y ∈ R thỏa mãn x + y + xy = 54. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2+y2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho x, y $\in$ R thỏa mãn x + y + xy = $\frac{5}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = $x^2+y^2$

   Trả lời:

   Ta có: $2x^2+\frac{1}{2}\ge 2x$; $2y^2+\frac{1}{2}\ge 2y$ và $x^2+y^2\ge 2xy$Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:$3\left(x^2+y^2\right)+1\ge 2\left(x+y+xy\right)=\frac{5}{2}$=> A = $x^2+y^2\ge \frac{1}{2}$Từ đó tìm được $A_{min}=\frac{1}{2}$ <=> x = y = $\frac{1}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====