Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.

Câu hỏi:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.

Trả lời:

Ta có: MC // ND (gt)Suy ra tứ giác MCDN là hình thangLại có: OM + AM = ON + BN (= R)Mà AM = BN (gt)Suy ra: OM = ONKẻ OI ⊥ CD     (3)Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung)Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ACDNSuy ra: OI // MC // ND     (4)Từ (3) và (4) suy ra: MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hãy đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy.

   Trả lời:

   
   O là trung điểm của CD
   AB đi qua trung điểm của CD nhưng AB không vuông góc với CD

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình 67. Hãy tính độ dài dây AB, biết OA = 13 cm, AM = MB, OM = 5 cm.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình 67. Hãy tính độ dài dây AB, biết OA = 13 cm, AM = MB, OM = 5 cm.

   Trả lời:

   OM là 1 phần đường kính đi qua trung điểm của AB
   ⇒ OM ⊥ AB
   Xét tam giác OAM vuông tại M có:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng: Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:
   Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

   Trả lời:

   
   Gọi M là trung điểm của BC.
   
   => ME = MB = MC = MD
   Do đó bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn tâm M. (đpcm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng: DE < BC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:
   DE < BC

   Trả lời:

    
   
   Trong đường tròn tâm M nói trên, ta có DE là dây, BC là đường kính nên DE < BC

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB, Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK. Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB, Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.
   Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD

   Trả lời:

   
   Kẻ OM ⊥ CD.
   Vì AH // BK (cùng vuông góc HK) nên tứ giác AHKB là hình thang.
   Hình thang AHKB có:
       AO = OB (bán kính).
       OM // AH // BK (cùng vuông góc HK)
   => OM là đường trung bình của hình thang.
   => MH = MK         (1)
   Vì OM ⊥ CD nên MC = MD     (2)
   Từ (1) và (2) suy ra CH = DK. (đpcm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====