Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn (M ∈ (O), N ∈ (O’)). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng: MN + PQ = MP + NQ.

Câu hỏi:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn (M ∈ (O), N ∈ (O’)). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng: MN + PQ = MP + NQ.

Trả lời:

Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt MN tại E và PQ tại FTrong đường tròn (O), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:EM = EA và FP = FATrong đường tròn (O’), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:EN = EA và FQ = FASuy ra: EM = EA = EN = (1/2).MNFP = FA = FQ = (1/2).PQSuy ra : MN + PQ = 2EA + 2FA = 2(EA + FA) = 2EF    (9)Vì EF là đường trung bình của hình thang MNQP nên :EF = (MP + NQ)/2 hay MP + NQ = 2EF    (10)Từ (9) và (10) suy ra: MN + PQ = MP + NQ

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hãy chứng minh khẳng định trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy chứng minh khẳng định trên.
   

   Trả lời:

   Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác OAO’ ta có:
   OA – O’A < OO’ < OA + O’A
   ⇔ R – r < OO’ < R + r

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hãy chứng minh các khẳng định trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy chứng minh các khẳng định trên.
   

   Trả lời:

   Hình 91: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại A nên A nằm giữa OO’
   ⇒ OA + AO’ = OO’ ⇒ R + r = OO’
   Hình 92: Hai đường tròn tiếp xúc trong tại A nên O’ nằm giữa O và A
   ⇒ OO’ + O’A = OA ⇒ OO’ = OA – O’A = R – r

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Quan sát các hình 97a, b, c, d trên hình nào có vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn ? Đọc tên các tiếp tuyến chung đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Quan sát các hình 97a, b, c, d trên hình nào có vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn ? Đọc tên các tiếp tuyến chung đó.
   

   Trả lời:

   Trả lời: Các tiếp tuyến chung của hai đường tròn là
   Hình 97 a) m ; d1; d2
   Hình 97 b) d1; d2
   Hình 97 c) d
   Hình 97 d) Không có tiếp tuyến chung của hai đường tròn

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O; R) và (O'; r) có OO' = d, R &gt; r.  
   
   

   Câu hỏi:
   

   Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có OO’ = d, R > r.
    

   Vị trí tương đối của hai đường tròn
   Số điểm chung
   Hệ thức giữa d, R, r

   (O; R) đựng (O’; r)
    
    

    
    
   d > R + r

   Tiếp xúc ngoài
    
    

    
    
   d = R – r

    
   2

   Trả lời:

   Ta có bảng sau:

   Vị trí tương đối của hai đường tròn
   Số điểm chung
   Hệ thức giữa d, R, r

   (O; R) đựng (O’; r)
   0
   d < R – r

   Ở ngoài nhau
   0
   d > R + r

   Tiếp xúc ngoài
   1
   d = R + r

   Tiếp xúc trong
   1
   d = R – r

   Cắt nhau
   2
   R – r < d < R + r

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.
   Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

   Trả lời:

   
   Gọi O’ là tâm của đường tròn đường kính OA.
   Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn tâm O và tâm O’.
   
   Suy ra, hai đường tròn đã cho tiếp xúc trong với nhau.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====