Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a≥1,b≥1,c≥1 và ab+bc+ca=9.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2.

Câu hỏi:

Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: $a\ge 1,b\ge 1,c\ge 1$ và $ab+bc+ca=9$.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$.

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:$a^2+b^2\ge 2ab, b^2+c^2\ge 2bc, c^2+a^2\ge 2ca$ Do đó: $2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge 2(ab+bc+ca)=2.9=18\Rightarrow 2P\ge 18\Rightarrow P\ge 9$Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$. Vậy MinP= 9 khi $a=b=c=\sqrt{3}$Vì $a, b, c \ge 1$, nên $(a-1)(b-1)\ge 0\iff ab-a-b+1\ge 0\iff ab+1\ge a+b$Tương tự ta có $bc+1\ge b+c, ca+1\ge c+a$ Do đó $ab+bc+ca+3\ge 2(a+b+c)\iff a+b+c\le \frac{9+3}{2}=6$Mà  $P=a^2+b^2+c^2={\left(a+b+c\right)}^2-2\left(ab+bc+ca\right)={\left(a+b+c\right)}^2–18$$\Rightarrow P\le 36-18=18$. Dấu bằng xảy ra khi : $\left\{\begin{array}{l}a=4;b=c=1\\ b=4;a=c=1\\ c=4;a=b=1\end{array}\right.$Vậy maxP= 18 khi : $\left\{\begin{array}{l}a=4;b=c=1\\ b=4;a=c=1\\ c=4;a=b=1\end{array}\right.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai biểu thức A=x+2x−5 và B=3x+5+20−2xx−25 với x≥0, x≠25(Từ câu 1-3)1. Tính giá trị biểu thức A khi  x=9.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0, x\ne 25$(Từ câu 1-3)1. Tính giá trị biểu thức A khi  x=9.

   Trả lời:

   Khi x= 9 ta có $A=\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-5}=\frac{3+2}{3-5}=-\frac{5}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai biểu thức A=x+2x−5 và B=3x+5+20−2xx−25 với x≥0, x≠252) Chứng minh rằng B=1x−5.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0, x\ne 25$2) Chứng minh rằng $B=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$.

   Trả lời:

   Với $x\ge 0,x\ne 25$ thì $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-15}=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}$$=\frac{3\left(\sqrt{x}-5\right)+20-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}=\frac{3\sqrt{x}-15+20-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}=\frac{\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$ (điều phải chứng minh)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hai biểu thức A=x+2x−5 và B=3x+5+20−2xx−25 với x≥0, x≠253) Tìm tất cả các giá trị của x để A=B.x−4.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$ với $x\ge 0, x\ne 25$3) Tìm tất cả các giá trị của x để $A=B.\left|x-4\right|$.

   Trả lời:

   Với $x\ge 0,x\ne 25$ Ta có: $A=B.\left|x-4\right|$$\iff \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}=\frac{1}{\sqrt{x}-5}.\left|x-4\right|\iff \sqrt{x}+2=\left|x-4\right|(*)$Nếu $x\ge 4, x\ne 25$ thì (*) trở thành : $\sqrt{x}+2=x-4$$\iff x-\sqrt{x}-6=0\iff \left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)=0$Do $\sqrt{x}+2>0$ nên $\sqrt{x}=3\iff x= 9$ (thỏa mãn)Nếu $0\le x<4$ thì (*) trở thành : $\sqrt{x}+2=4-x$$\iff x+\sqrt{x}-2=0\iff \left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)=0$Do $\sqrt{x}+2>0$ nên $\sqrt{x}=1\iff x=1$ (thỏa mãn)Vậy có hai giá trị x=1 và x= 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trìnhMột xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trìnhMột xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

   Trả lời:

   Gọi vận tốc xe máy là x (km/h). Điều kiện x>0Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h  nên vận tốc ô tô là x+10 (km/h). Thời gian xe máy đi từ A đến B là $\frac{120}{x}$(h)Thời gian ô tô đi từ A đến B là $\frac{120}{x+10}$(h)Xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút =3/5(h) nên ta có phương trình:$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+10}=\frac{3}{5}\iff \mathrm{120.5.}\left(x+10\right)-\mathrm{120.5.}x=3x.\left(x+10\right)\iff 3x^2+30x-6000=0\iff \left(x+50\right)\left(x-40\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-50\\ x=40\end{array}\right.$Kết hợp với điều kiện đầu bài ta được x= 40.Vậy vận tốc của xe máy là 40 (km/h), vận tốc của ô tô là 50(km/h). 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải hệ phương trình x+2y−1=54x−y−1=2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}=5\\ 4\sqrt{x}-\sqrt{y-1}=2\end{array}\right..$

   Trả lời:

   Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}=5\\ 4\sqrt{x}-\sqrt{y-1}=2\end{array}\right..$Điều kiện:$x\ge 0; y\ge 1$ Đặt $\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{x}\\ b=\sqrt{y-1}\end{array}\right..$ Điều kiện $a; b\ge 0$. Khi đó hệ phương trình ban đầu trở thành$\left\{\begin{array}{l}a+2b=5\\ 4a-b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=5-2b\\ 4\left(5-2b\right)-b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=5-2b\\ 20-8b-b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=5-2b\\ -9b=-18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.$Do đó: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}=1\\ \sqrt{y-1}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y-1=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=5\end{array}\right.(t/m)$Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)= (1;5)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====