Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M ∈ (O); N ∈ (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’; Q là điểm đối xứng với N qua OO’. MN + PQ bằng:

Câu hỏi:

Cho hai đường tròn (O); (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M $\in$ (O); N $\in$ (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’; Q là điểm đối xứng với N qua OO’. MN + PQ bằng:

A. MP + NQ

Đáp án chính xác

B. MQ + NP

C. 2MP

D. OP + PQ

Trả lời:

Đáp án AVì P là điểm đối xứng với M qua OO’Q là điểm đối xứng với N qua OO’ nên MN = PQP $\in$ (O); Q $\in$ (O’) và MP $\perp$ OO’; NQ $\perp$ OO’ $\Rightarrow$ MP // NQ mà MN = PQ nên MNPQ là hình thang cânKẻ tiếp tuyến chung tại A của (O); (O’) cắt MN; PQ lần lượt tại B; CTa có MNPQ là hình thang cân nên $\widehat{NMP}=\widehat{QPM}$Tam giác OMP cân tại O nên $\widehat{OMP}=\widehat{OPM}$ suy ra$\widehat{OMP}+\widehat{PMN}=\widehat{OPM}+\widehat{MPQ}\Rightarrow \widehat{QPO}={90}^o$$\Rightarrow$ OP $\perp$ PQ tại P $\in$ (O) nên PQ là tiếp tuyến của (O).Chứng minh tương tự ta có PQ là tiếp tuyến của (O’)Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:BA = BM = BAO NHIÊU; CP = CA = CQ suy ra B; C lần lượt là trung điểm của MN; PQ và MN + PQ = 2MB + 2 PC = 2AB + 2AC = 2BCLại có BC là đường trung bình của hình thang MNPQ nên MP + NQ = 2BCDo đó MN + PQ = MP + NQ

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp xúc với (O1); (O2) lần lượt tại B, C. Lấy M là trung điểm của BC. Chọn khẳng định sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường tròn $\left(O_1\right)$ và $\left(O_2\right)$ tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d tiếp xúc với $\left(O_1\right); \left(O_2\right)$ lần lượt tại B, C. Lấy M là trung điểm của BC. Chọn khẳng định sai?

   A. AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $\left(O_1\right); \left(O_2\right)$

   B. AM là đường trung bình của hình thang $O_{1}BC{O}_2$

   C. AM = MC

   D. $AM=\frac{1}{2}BC$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DXét $\left(O_1\right)$ có $O_{1}B = O_{1}A$$\Rightarrow ∆O_{1}AB$ cân tại $O_1\Rightarrow \widehat{O_{1}BA}=\widehat{O_{1}AB}$Xét $\left(O_2\right)$ có $O_{2}C = O_{2}A$$\Rightarrow ∆O_{2}CA$ cân tại $O_2\Rightarrow \widehat{O_{2}CA}=\widehat{O_{2}AC}$Mà $\widehat{O_1}+\widehat{O_2} = {360}^o -\widehat{C}-\widehat{B}= {180}^o$$\iff 180o-\widehat{O_{1}BA}-\widehat{O_{1}AB}+ {180}^o -\widehat{O_{2}CA}-\widehat{O_{2}AC}= {180}^o$$\iff 2\left(\widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}\right)= {180}^o\Rightarrow \widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}={90}^o\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^o$$\Rightarrow ∆$ABC vuông tại AVì $∆$ABC vuông tại A có AM là trung tuyến nên $AM = BM = DM =\frac{BC}{2}$Xét tam giác BMA cân tại M $\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{MAB}$ mà $\widehat{O_{1}BA}=\widehat{O_{1}AB}$(cmt) nên$\widehat{O_{1}BA}+\widehat{MBA}=\widehat{O_{1}AB}+\widehat{MAB}\Rightarrow \widehat{O_{1}AM}=\widehat{O_{1}BM}= {90}^o$$\Rightarrow MA \perp A{O}_1$ tại A nên AM là tiếp tuyến của $\left(O_1\right)$Tương tự ta cũng có $\Rightarrow MA \perp A{O}_2$ tại A nên AM là tiếp tuyến của $\left(O_2\right)$Hay AM là tiếp tuyến chung của hai đường trònVậy phương án A, C, D đúng. B sai

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho (O1; 3cm) tiếp xúc ngoài với (O2; 1cm). Vẽ bán kính O1B và O2C song song với nhau cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ O1O2. Gọi D là giao điểm của BC và O1O2. Tính số đo BAC^
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $(O_1; 3cm)$ tiếp xúc ngoài với $(O_2; 1cm)$. Vẽ bán kính $O_{1}B$ và $O_{2}C$ song song với nhau cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ $O_1{O}_2$. Gọi D là giao điểm của BC và $O_1{O}_2$. Tính số đo $\widehat{BAC}$

   A. ${90}^{\circ }$

   Đáp án chính xác

   B. ${60}^{\circ }$

   C. ${100}^{\circ }$

   D. ${80}^{\circ }$

   Trả lời:

   Đáp án AXét $\left(O_1\right)$ có $O_{1}B = O_{1}A\Rightarrow ∆O_{1}AB$ cân tại $O_1$ $\Rightarrow \widehat{O_{1}BA}=\widehat{O_{1}AB}$Xét $\left(O_2\right)$ có $O_{2}C = O_{2}A\Rightarrow ∆O_{2}AB$ cân tại $O_2$ $\Rightarrow \widehat{O_{2}CA}=\widehat{O_{2}AC}$Lại có $O_{1}B // O_{2}C\Rightarrow \widehat{O_{1}BC}+\widehat{O_{2}CB}={180}^o$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)Suy ra $\widehat{O_1}+\widehat{O_2} = {360}^o-\widehat{O_{2}CB}-\widehat{O_{2}BC}= {180}^o$$\iff {180}^o-\widehat{O_{1}BA}-\widehat{O_{1}AB}+{180}^o-\widehat{O_{2}CA}-\widehat{O_{2}AC}={180}^o$$\iff 2\left(\widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}\right)={180}^o\Rightarrow \widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}={90}^o\Rightarrow \widehat{BAC}= {90}^o$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho (O1; 3cm) tiếp xúc ngoài với (O2; 1cm). Vẽ bán kính O1B và O2C song song với nhau cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ O1O2, Kéo dài BC cắt  tại D. Tính độ dài O1D
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $(O_1; 3cm)$ tiếp xúc ngoài với $(O_2; 1cm)$. Vẽ bán kính $O_{1}B$ và $O_{2}C$ song song với nhau cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ $O_1{O}_2$, Kéo dài BC cắt  tại D. Tính độ dài $O_{1}D$

   A. $O_{1}D = 4,5cm$

   B. $O_{1}D = 5cm$

   C. $O_{1}D = 8cm$

   D. $O_{1}D = 6cm$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DVì $∆O_{1}BD$ có $O_{1}B // O_{2}C$ nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:$\frac{O_{2}D}{O_{1}D}=\frac{O_{2}C}{O_{1}B}=\frac{1}{3}$ suy ra $\frac{O_1{O}_2}{O_{1}D}=\frac{2}{3}$Mà $O_1{O}_2 = O_{1}A + O_{2}A = 3 + 1 = 4$$\Rightarrow O_{1}D=\frac{3}{2}.O_1{O}_2=\frac{3}{2}.4=6cm$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO’. Biết rằng AB = 24cm và O, O’ nằm cùng phía đối với AB
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO’. Biết rằng AB = 24cm và O, O’ nằm cùng phía đối với AB

   A. OO’ = 7cm

   Đáp án chính xác

   B. OO’ = 8cm

   C. OO’ = 9cm

   D. OO’ = 25cm

   Trả lời:

   Đáp án ATa có: $AI= \frac{1}{2}AB=12cm$Theo định lý Pytago ta có: $O{I}^2 = O{A}^2 – A{I}^2 = 256\Rightarrow OI = 16cm$ và $O’I=\sqrt{O‘A^2-I{A}^2}=9cm$Do đó OO’ = OI – O’I = 16 – 9 = 7(cm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hai đường tròn (O; 10cm) và (O’; 5cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO’. Biết rằng AB = 8cm và O, O’ nằm cùng phía đối với AB. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường tròn (O; 10cm) và (O’; 5cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO’. Biết rằng AB = 8cm và O, O’ nằm cùng phía đối với AB. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

   A. OO’ $\approx$ 6,5cm

   B. OO’ $\approx$6,1cm

   C. OO’ $\approx$ 6cm

   D. OO’ $\approx$ 6,2cm

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DTa có: $AI =\frac{1}{2}AB = 4cm$Theo định lý Pytago ta có: $O{I}^2 = O{A}^2 – A{I}^2 = {10}^2 – 4^4 = 84\Rightarrow OI = 2\sqrt{21}$ và $O’I=\sqrt{O‘A^2-I{A}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$Do đó $OO’=OI–O’I= 2\sqrt{21}–3\approx 6,2\left(cm\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====