Chứng minh rằng nếu a và n là hai số tự nhiên, n≥2 thì an hoặc là số nguyên hoặc là một số vô tỷ

Câu hỏi:

Chứng minh rằng nếu a và n là hai số tự nhiên, $n\ge 2$ thì $\sqrt[n]{a}$ hoặc là số nguyên hoặc là một số vô tỷ

Trả lời:

Giả sử $\sqrt[n]{a}$ không phải là số nguyên. Dễ thấy $c=\sqrt[n]{a}$ là một nghiệm của đa thức với hệ số nguyên $x^n-a$.Đa thức này nếu có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó phải là số nguyên. Nhưng theo giả thiết $\sqrt[n]{a}$ không phải là số nguyên, do đó $\sqrt[n]{a}$ phải là số vô tỷ.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thực hiện phép tính −123.183.−33
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính $\sqrt[3]{-\frac{1}{2}}.\sqrt[3]{18}.\sqrt[3]{-3}$

   Trả lời:

   $\sqrt[3]{-\frac{1}{2}}.\sqrt[3]{18}.\sqrt[3]{-3}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\mathrm{.18.}(-3)}=\sqrt[3]{27}=3$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Thực hiện phép tính −23+143+23+1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính $\left(\sqrt[3]{-2}+1\right)\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)$

   Trả lời:

   $\left(\sqrt[3]{-2}+1\right)\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)=\left(\sqrt[3]{-2}+1\right)\left[{\left(\sqrt[3]{-2}\right)}^2-\sqrt[3]{-2}+1\right]={\left(\sqrt[3]{-2}\right)}^3+1=-2+1=-1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Thực hiện phép tính 33+2393−63+43
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính $\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)$

   Trả lời:

   $\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)={\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3=3+2=5$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Thực hiện phép tính 1−333+1+333
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính ${\left(1-\sqrt[3]{3}\right)}^3+{\left(1+\sqrt[3]{3}\right)}^3$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}{\left(1-\sqrt[3]{3}\right)}^3+{\left(1+\sqrt[3]{3}\right)}^3\\ ={\left(1-\sqrt[3]{3}+1+\sqrt[3]{3}\right)}^3-3\left(1-\sqrt[3]{3}\right)\left(1+\sqrt[3]{3}\right)\left(1-\sqrt[3]{3}+1+\sqrt[3]{3}\right)\\ =2^3-3\left[1-{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2\right].2\\ =8-6+6\sqrt[3]{9}\\ =2+6\sqrt[3]{9}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Thực hiện phép tính A=814−273
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính $A=\sqrt[4]{81}-\sqrt[3]{27}$

   Trả lời:

   $A=\sqrt[4]{81}-\sqrt[3]{27}=\sqrt[4]{\mathrm{3.3.3.3}}-\sqrt[3]{\mathrm{3.3.3}}=0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====