Sách bài tập Toán 10 Bài 2 (Cánh diều): Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giải SBT Toán 10 trang 66 Tập 2

Bài 12 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(-1;3) và $\overrightarrow{v}$=(2;-5). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v}$ là:

A. (1; – 2);

B. (- 2; 1);

C. (- 3; 8);

D. (3; – 8).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{u}$+$\overrightarrow{v}$= ( -1 + 2; 3 + (-5)) = (1; -2).

Vậy chọn đáp án A.

Bài 13 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(2;-3) và $\overrightarrow{v}$=(1;4). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$ là:

A. (0; 11);

B. (0; – 11);

C. (- 11; 0);

D. (- 3; 10).

Lời giải:

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$= (2-2.1;-3-2.4) = (0;-11)

Vậy chọn đáp án B.

Bài 14 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm A(4; – 1) và B(- 2; 5). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

A. (2; 4);

B. (- 3; 3);

C. (3; – 3);

D. (1; 2).

Lời giải:

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

x_M= $\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{4+\left(-2\right)}{2}$=1

y_M= $\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-1+5}{2}$=2

Suy ra M(1; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Bài 15 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có A(4; 6), B(1; 2), C(7; – 2). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. $\left(4;\frac{10}{3}\right)$ ;

B. (8; 4);

C. (2; 4);

D. (4; 2).

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{4+1+7}{3}$=4

$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{6+2+\left(-2\right)}{3}$=2

Suy ra G(4; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Bài 16 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm M(- 2; 4) và N(1; 2). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:

A. $\sqrt{13}$ ;

B. $\sqrt{5}$ ;

C. 13;

D. $\sqrt{37}$ .

Lời giải:

Khoảng cách giữa hai điểm M và N chính bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{MN}$ và bằng

|$\overrightarrow{MN}$| = $\sqrt{{\left(x_N-x_M\right)}^2+{\left(y_N-y_M\right)}^2}=\sqrt{{\left(1+2\right)}^2+{\left(2-4\right)}^2}=\sqrt{13}$

Vậy chọn đáp án A.

Bài 17 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(-4;-3) và $\overrightarrow{v}$=(-1;-7). Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là:

A. 90⁰;

B. 60⁰;

C. 45⁰;

D. 30⁰.

Lời giải:

Ta có: cos($\overrightarrow{u}$;$\overrightarrow{v}$)

= 

Suy ra ($\overrightarrow{u}$;$\overrightarrow{v}$)= ${45}^o$ .

Vậy chọn đáp án C.

Giải SBT Toán 10 trang 67 Tập 2

Bài 18 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(1;1) và $\overrightarrow{v}$=(-2;1) là:

A. $\frac{-1}{10}$ ;

B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ;

C. $\frac{-\sqrt{10}}{10}$ ;

D. $\frac{3}{10}$ .

Lời giải:

Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$=(1;1) và $\overrightarrow{v}$=(-2;1) là:

cos($\overrightarrow{u}$;$\overrightarrow{v}$)= 

Vậy chọn đáp án C.

Bài 19 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có A(2; 6), B(- 2; 2), C(8; 0). Khi đó, tam giác ABC là:

A. Tam giác đều;

B. Tam giác vuông tại A;

C. Tam giác có góc tù tại A;

D. Tam giác cân tại A.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$=(-2-2;2-6) = (-4;-4) ⇒ AB = |$\overrightarrow{AB}$| = $\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=4\sqrt{2}.$

$\overrightarrow{AC}$=(8-2;0-6) = (6;-6) $\Rightarrow$AC = |$\overrightarrow{AC}$|= $\sqrt{6^2+{\left(-6\right)}^2}=6\sqrt{2}$.

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$= (-4).6+(-4).(-6) = 0

Nên $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AC}$ hay tam giác ABC vuông tại A.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 20 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; 5), B(- 1; – 1), C(2; – 5)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và CD=$\frac{3}{2}$AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$=(-1-1;-1-5)= (-2;-6) và $\overrightarrow{AC}$= (2-1;-5-5) = (1;-10)

Ta thấy $\frac{-2}{1}\ne \frac{-6}{-10}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy A, B, C không thẳng hàng.

b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}\right)$.

c) Do tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD

Nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng

Mà CD=$\frac{3}{2}$ nên $\overrightarrow{CD}$=$–\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$

Gọi D(a; b), ta có: $\overrightarrow{AB}$=(-1-1;-1-5) = (-2;-6), $\overrightarrow{CD}$=(a-2b;b+5) .

Suy ra 

Vậy D(5; 4).

Bài 21 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2; 4), B(- 5; – 1), C(8; – 2). Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả số đo góc đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$= (-5+2;-1-4) = (-3;-5)

$\overrightarrow{AC}$=(8+2;-2-4) = (10;-6)

$\overrightarrow{BC}$=(8+5;-2+1) = (13;-1)

Suy ra: AB=|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{34}$

AC=|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{10}^2+{\left(-6\right)}^2}=2\sqrt{34}$

BC=|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{{13}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{170}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{AC}$= (-3).10+(-5).(-6) = 0 suy ra $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AC}$ hay $\widehat{BAC}={90}^o$ .

Ta có: cos($\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{BC}$)

= .

Suy ra $\widehat{ACB}\approx {27}^o$$\Rightarrow \widehat{ABC}={90}^o-\widehat{ACB}\approx {63}^o$.

Bài 22 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4; – 2), B(10; 4) và điểm M nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ điểm M sao cho |$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$| có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Do M nằm trên trục Ox nên M(a; 0).

Khi đó $\overrightarrow{MA}$= (4-a;-2) và $\overrightarrow{MB}$ = (10-a;4).

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$= (14-2a;2)

$\Rightarrow$|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|$=\sqrt{{\left(14-2a\right)}^2+2^2}$

Suy ra |$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|² = (14-2a)² + 2²$\ge$2²=4

Giá trị nhỏ nhất của |$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|² là 4

Hay giá trị nhỏ nhất của |$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$| là 2 đạt được khi 14 – 2a = 0$\iff$a=7

Vậy M(7; 0).

Bài 23 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ (600; 200) đến thành phố B có tọa độ (200; 500) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Hãy tìm tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Lời giải:

Gọi M(a; b) là tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Ta có: $\overrightarrow{AM}$=(a-600;b-200) và $\overrightarrow{AB}$=(-400;300)

Do máy bay chuyển động thẳng đều nên quãng đường máy bay đi được sau 1 giờ bằng $\frac{1}{3}$ tổng quãng đường hay AM= $\frac{1}{3}$AB .

Mà M thuộc đoạn AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ .

Suy ra 

Vậy M$\left(\frac{1400}{3};300\right)$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

SBT Toán 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

SBT Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

SBT Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

SBT Toán 10 Bài 5: Phương trình đường tròn