Sách bài tập Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Xác suất của biến cố

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 5: Xác suất của biến cố 

Giải SBT Toán 10 trang 47 Tập 2

Bài 27 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Xét phép thử “Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp”. Biến cố nào dưới đây là biến cố không?

A. Tổng số chấm ở hai lần gieo nhỏ hơn hoặc bằng 1.

B. Cả hai lần gieo đều xuất hiện số chấm lẻ.

C. Số chấm xuất hiện ở hai lần gieo đều chia hết cho 5.

D. Số chấm ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn số chấm ở lần gieo thứ hai.

Lời giải:

Biến cố ở phương án A là biến cố không.

Biến cố ở phương án B không phải biến cố không (vì có phần tử (1; 3) thuộc biến cố ở phương án B).

Biến cố ở phương án C không phải biến cố không (vì có phần tử (5; 5) thuộc biến cố ở phương án C).

Biến cố ở phương án D không phải biến cố không (vì có phần tử (2; 3) thuộc biến cố ở phương án D).

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 28 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Xét phép thử “Tung một đồng xu hai lần liên tiếp”. Biến cố nào dưới đây là biến cố chắc chắn?

A. Mặt sấp chỉ xuất hiện 1 lần.

B. Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa.

C. Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa.

D. Cả hai lần tung đều xuất hiện mặt sấp.

Lời giải:

Không gian mẫu của phép thử trên là: Ω = {SS; SN; NS; NN}.

Biến cố “Mặt sấp chỉ xuất hiện 1 lần” có tập hợp là: A = {SN; NS} ≠ Ω.

Vì vậy biến cố ở phương án A không phải là biến cố chắc chắn.

Biến cố “Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa” có tập hợp là: B = {SN; NN} ≠ Ω.

Vì vậy biến cố ở phương án B không phải là biến cố chắc chắn.

Biến cố “Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa” có tập hợp là:

C = {SS; SN; NS; NN} = Ω.

Vì vậy biến cố ở phương án C là biến cố chắc chắn.

Biến cố “Cả hai lần tung đều xuất hiện mặt sấp” có tập hợp là: D = {SS} ≠ Ω.

Vì vậy biến cố ở phương án D không phải là biến cố chắc chắn.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 29 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tập hợp A gồm 2 022 số nguyên dương liên tiếp 1, 2, 3, …, 2 022. Chọn ngẫu nhiên 2 số thuộc tập hợp A. Xác suất của biến cố “Tích 2 số được chọn là số chẵn” là:

A. $\frac{C_{1011}^2}{C_{2022}^2}$.

B.$1-\frac{C_{1011}^2}{C_{2022}^2}$.

C. $\frac{1}{2}$.

D. $1-\frac{C_{2022}^2}{C_{4044}^2}$.

Lời giải:

Mỗi cách chọn 2 số là một tổ hợp chập 2 của tập hợp 2022 phần tử.

Vì vậy không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 2 của tập hợp 2022 phần tử và n(Ω) = $C_{2022}^2$.

Gọi A là biến cố “Tích 2 số được chọn là số chẵn”.

Suy ra biến cố đối của biến cố A là: $\overline{A}$: “Tích 2 số được chọn là số lẻ”.

Trong tập hợp A, ta thấy có tổng cộng 1011 số lẻ.

Ta lại có tích của hai số lẻ là số lẻ.

Mỗi cách chọn 2 số lẻ trong 1011 số lẻ của tập hợp A là một tổ hợp chập 2 của tập hợp 1011 phần tử. Vì vậy $n\left(\overline{A}\right)=C_{1011}^2$.

Vì vậy số phần tử của tập hợp $\overline{A}$ là $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{1011}^2}{C_{2022}^2}$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{C_{1011}^2}{C_{2022}^2}$.

Do đó ta chọn phương án B.

Bài 30 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Ngân hàng đề thi của một môn khoa học xã hội gồm 200 câu hỏi. Người ta chọn trong ngân hàng đề thi 5 câu hỏi để làm thành một đề thi, hai đề thi được gọi là giống nhau nếu có cùng tập hợp 5 câu hỏi. Một học sinh chắc chắn trả lời đúng 120 câu hỏi trong ngân hàng đề thi đó. Xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi mà có đúng 3 câu hỏi chắc chắn trả lời đúng là:

A. $\frac{C_{120}^3}{C_{200}^5}$.

B. $1-\frac{C_{80}^2}{C_{200}^5}$.

C. $\frac{120}{200}$.

D. $\frac{C_{80}^2{C}_{120}^3}{C_{200}^5}$.

Lời giải:

Mỗi cách chọn 5 câu hỏi trong 200 câu hỏi là một tổ hợp chập 5 của 200 phần tử.

Vì vậy n(Ω) = $C_{200}^5$.

Gọi A là biến cố “Rút ngẫu nhiên được một đề thi mà có đúng 3 câu hỏi chắc chắn trả lời đúng”.

Tức là trong đề thi đó, học sinh chắc chắn làm đúng 3 câu hỏi và học sinh trả lời sai 2 câu hỏi.

Mỗi cách chọn 3 câu hỏi trong số 120 câu hỏi mà học sinh chắc chắn trả lời đúng là một tổ hợp chập 3 của 120 phần tử.

Mỗi cách chọn 2 câu hỏi trong số 80 câu hỏi mà học sinh trả lời sai là một tổ hợp chập 2 của 80 phần tử.

Vì vậy $n\left(A\right)=C_{120}^3.C_{80}^2$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{120}^3.C_{80}^2}{C_{200}^5}$.

Do đó ta chọn phương án D.

Bài 31 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ, 5 quả cầu vàng, các quả cầu có kích thước và khối lượng giống nhau, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất lấy được 3 quả cầu có màu đôi một khác nhau.

Lời giải:

Trong hộp có tổng cộng 3 + 4 + 5 = 12 quả cầu.

Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ 12 quả cầu trong hộp là một tổ hợp chập 3 của 12 phần tử.

Vậy n(Ω) = $C_{12}^3$ = 220.

Gọi A là biến cố “Lấy được 3 quả cầu có màu đôi một khác nhau”.

Tức là, lấy được 1 quả cầu trắng, 1 quả cầu đỏ, 1 quả cầu vàng.

Chọn 1 quả cầu trắng có 3 cách chọn.

Chọn 1 quả cầu đỏ có 4 cách chọn.

Chọn 1 quả cầu vàng có 5 cách chọn.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = 3.4.5 = 60.

Vậy xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{60}{220}=\frac{3}{11}$.

Giải SBT Toán 10 trang 48 Tập 2

Bài 32 trang 48 SBT Toán 10 Tập 2: Có 20 tấm thẻ màu xanh, 30 tấm thẻ màu đỏ. Người ta chọn ra đồng thời 18 tấm thẻ. Tính xác suất của biến cố A: “Trong 18 tấm thẻ được chọn ra có ít nhất một tấm thẻ màu xanh”.

Lời giải:

Ta có biến cố A: “Trong 18 tấm thẻ được chọn ra có ít nhất một tấm thẻ màu xanh”.

Suy ra $\overline{A}$: Trong 18 tấm thẻ được chọn ra không có tấm thẻ nào màu xanh”.

Có tất cả 20 + 30 = 50 tấm thẻ.

Mỗi cách chọn ra đồng thời 18 tấm thẻ trong 50 tấm thẻ là một tổ hợp chập 18 của 50 phần tử.

Suy ra n(Ω) = $C_{50}^{18}$.

Ta có trong 18 tấm thẻ được chọn ra không có tấm thẻ nào màu xanh.

Tức là, trong 18 tấm thẻ được chọn ra đều có màu đỏ.

Mỗi cách chọn 18 tấm thẻ màu đỏ trong 30 tấm thẻ màu đỏ là một tổ hợp chập 18 của 30 phần tử.

Suy ra $n\left(\overline{A}\right)=C_{30}^{18}$.

Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_{30}^{18}}{C_{50}^{18}}$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{C_{30}^{18}}{C_{50}^{18}}$.

Bài 33 trang 48 SBT Toán 10 Tập 2: Lớp 10A có 16 nam và 24 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 bạn để phân công trực nhật. Tính xác suất của biến cố A: “Trong 5 bạn được chọn có 2 bạn nam và 3 bạn nữ”.

Lời giải:

Lớp 10A có tổng cộng 16 + 24 = 40 học sinh.

Mỗi cách chọn 5 bạn trong số 40 bạn để phân công trực nhật là một tổ hợp chập 5 của 40 phần tử.

Vì vậy số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = $C_{40}^5$ = 658008.

Mỗi cách chọn 2 bạn nam trong số 16 bạn nam là một tổ hợp chập 2 của 16 phần tử.

Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong số 24 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 24 phần tử.

Khi đó số phần tử của biến cố A là: $n\left(A\right)=C_{16}^2.C_{24}^3$ = 242880.

Vậy xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{242880}{658008}=\frac{10120}{27417}$.

Bài 34 trang 48 SBT Toán 10 Tập 2: Xếp ngẫu nhiên 6 bạn An, Bình, Cường, Dũng, Đông, Huy vào một dãy hàng dọc. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) A: “Bạn Dũng luôn đứng liền sau bạn Bình”.

b) B: “Bạn Bình và bạn Cường luôn đứng liền nhau”.

Lời giải:

Xếp ngẫu nhiên 6 bạn thành một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6! = 720.

a) Vì bạn Dũng đứng liền sau bạn Bình nên ta có thể coi 2 bạn đó là 1 bạn.

Như vậy, chỉ còn xếp chỗ cho 4 bạn còn lại và 1 bạn “Bình – Dũng”.

Tức là chỉ cần xếp chỗ cho 5 bạn.

Xếp ngẫu nhiên 5 bạn thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử.

Khi đó số phần tử của biến cố A là: n(A) = 5! = 120.

Vậy xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{120}{720}=\frac{1}{6}$.

b) Vì bạn Bình và bạn Cường luôn đứng liền nhau nên ta có thể coi 2 bạn đó là 1 bạn.

Như vậy, chỉ còn xếp chỗ cho 4 bạn còn lại và 1 bạn “Bình – Cường”.

Tuy nhiên, có hai trường hợp là bạn Bình đứng trước hoặc bạn Cường đứng trước.

Do đó có 2 cách xếp vị trí đứng của bạn Bình và bạn Cường.

Xếp vị trí 5 bạn thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử.

Khi đó số phần tử của biến cố B là: n(B) = 2.5! = 240.

Vậy xác suất của biến cố B là: P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{240}{720}=\frac{1}{3}$.

Bài 35 trang 48 SBT Toán 10 Tập 2: Từ bộ tú lơ khơ có 52 quân bài thường đang được úp, rút ngẫu nhiên đồng thời 4 quân bài. Tính xác suất các biến cố sau:

a) A: “Rút được 4 quân bài cùng một giá trị” (ví dụ 4 quân 3, 4 quân K,…);

b) B: “Rút được 4 quân bài có cùng chất”;

c) C: “Trong 4 quân bài rút được chỉ có 2 quân Át”.

Lời giải:

Rút ngẫu nhiên đồng thời 4 quân bài trong 52 quân bài là một tổ hợp chập 4 của 52 phần tử.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = $C_{52}^4$ = 270725.

a) Trong bộ 52 quân bài có 13 nhóm 4 quân bài cùng một giá trị.

Suy ra số phần tử của biến cố A là: n(A) = 13.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{13}{270725}=\frac{1}{20825}$.

b) Có 4 cách chọn chất của bộ bài (Cơ, Rô, Chuồn, Bích).

Mà mỗi chất có 13 quân bài.

Do đó mỗi cách chọn 4 quân bài trong số 13 quân bài của mỗi chất là một tổ hợp chập 4 của 13.

Suy ra số phần tử của biến cố B là: n(B) = 4.$C_{13}^4$ = 2860.

Vậy xác suất của biến cố B là: P(B)=$\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2860}{270725}=\frac{44}{4165}$.

c) Trong bộ bài có tổng cộng 4 quân Át.

Mỗi cách chọn 2 quân Át trong số 4 quân Át là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử.

Mỗi cách chọn 2 quân bài còn lại không phải quân Át trong số 48 quân bài còn lại là một tổ hợp chập 2 của 48.

Do đó số phần tử của biến cố C là: n(C) = $C_4^2.C_{48}^2$ = 6768.

Vậy xác suất của biến cố C là: P(C) = $\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{6768}{270725}$.

Bài 36 trang 48 SBT Toán 10 Tập 2: Một giải bóng đá gồm 16 đội, trong đó có 4 đội của nước V. Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 4 bảng đấu A, B, C, D, mỗi bảng đấu có 4 đội. Tính xác suất của biến cố “Bốn đội của nước V ở 4 bảng đấu khác nhau”.

Lời giải:

Mỗi cách chọn 4 đội trong số 16 đội để xếp vào bảng A là một tổ hợp chập 4 của 16 phần tử.

Mỗi cách chọn 4 đội tiếp theo trong số 12 đội còn lại để xếp vào bảng B là một tổ hợp chập 4 của 12 phần tử.

Mỗi cách chọn 4 đội tiếp theo trong số 8 đội còn lại để xếp vào bảng C là một tổ hợp chập 4 của 8 phần tử.

Lúc này, 4 đội cuối cùng sẽ được xếp vào bảng D.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = $C_{16}^4.C_{12}^4.C_8^4$.

Gọi E là biến cố “Bốn đội của nước V ở 4 bảng đấu khác nhau”.

Số cách xếp 4 đội của nước V vào bảng đấu là 4! = 24.

Mỗi cách chọn 3 đội trong 12 đội còn lại không phải của nước V để xếp vào bảng A là một tổ hợp chập 3 của 12 phần tử.

Mỗi cách chọn 3 đội tiếp theo trong 9 đội còn lại không phải của nước V để xếp vào bảng B là một tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.

Mỗi cách chọn 3 đội tiếp theo trong 6 đội còn lại không phải của nước V để xếp vào bảng C là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử.

Lúc này, 3 đội cuối cùng sẽ được xếp vào bảng D.

Vì vậy số cách xếp 12 đội còn lại vào 4 bảng đấu là: $C_{12}^3.C_9^3.C_6^3$.

Suy ra số phần tử của biến cố E là: n(E) = 24.$C_{12}^3.C_9^3.C_6^3$.

Vậy xác suất của biến cố E là: $P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{24.C_{12}^3.C_9^3.C_6^3}{C_{16}^4.C_{12}^4.C_8^4}=\frac{64}{455}$.