20 câu Trắc nghiệm Hoán vị. Chỉnh hợp (Cánh diều 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Câu 1.Giá trị của x thoả mãn phương trình $A_x^{10}+A_x^9=9A_x^8$ là:

A. x = 10;

B. x = 9;

C. x = 11;

D. x = 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x ≥ 10; x $\in$ ℕ

Ta có $A_x^{10}+A_x^9=9A_x^8\iff \frac{x!}{\left(x-10\right)!}+\frac{x!}{\left(x-9\right)!}=9.\frac{x!}{\left(x-8\right)!}$

$\iff \frac{x!}{\left(x-8\right)!}\left(\frac{1}{\left(x-10\right)(x-9)}+\frac{1}{x-9}\right)=9.\frac{x!}{\left(x-8\right)!}$

Kết hợp với điều kiện ta được x = 9 thoả mãn.

TH2. $\frac{x!}{\left(x-8\right)!}=0$

Vì x ≥ 10 nên $\frac{x!}{\left(x-8\right)!}\ne 0$.

Vậy x = 9.

Câu 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 thí sinh vào một phòng thi có 20 bàn mỗi bàn một thí sinh.

A. 20;

B. 1;

C. 20²⁰;

D. 20!.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi cách xếp 20 thí sinh vào 20 vị trí của một phòng thi là một hoán vị của 20 phần tử, vậy số cách xếp là 20! cách.

Câu 3. Tìm số tự nhiên n thỏa $A_n^2=210$.

A. 15;

B. 12;

C. 21;

D. 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện n ≥ 2; n $\in$ℕ

Ta có $A_n^2=210$$\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}=210$

$\iff$ n(n – 1) = 210$\iff$ n² – n – 210 = 0

$\iff$ n = 15 hoặc n = –14

Kết hợp với điều kiện n = 15 thoả mãn.

Câu 4: Giá trị của n thỏa mãn $3A_n^2-A_{2n}^2+42=0$ là:

A. 7;

B. 8;

C. 6;

D. 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $3A_n^2-A_{2n}^2+42=0$ $\iff 3.\frac{n!}{\left(n-2\right)!}-\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-2\right)!}+42=0$

$\iff$ 3n(n – 1) – 2n(2n – 1) + 42 = 0

$\iff$ – n² – n + 42 = 0

$\iff$ n = 6 hoặc n = – 7

Kết hợp với điều kiện n = 6 thoả mãn.

Câu 5. Một đội cổ động viên gồm có 3 người mặc áo vàng, 4 người mặc áo đỏ, 5 người mặc áo xanh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các cổ động viên thành một hàng dọc sao cho các cổ động viên cùng màu áo đứng cạnh nhau?

A. 345600;

B. 518400;

C. 725760;

D. 103680.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số cách xếp 3 cổ động viên mặc áo vàng là: 3! cách

Số cách xếp 4 cổ động viên mặc áo đỏ là: 4! cách

Số cách xếp 5 cổ động viên mặc áo xanh là: 5! cách

Hoán đổi vị trí của 3 nhóm cổ động viên có 3! cách

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng 3!.3!.4!.5! = 103680 cách.

Câu 6. Số cách chọn một ban chấp hành gồm một trưởng ban, một phó ban, một thư kí và một thủ quỹ được chọn từ 16 thành viên là:

A. 4;

B. $\frac{16!}{4}$;

C. $\frac{16!}{12!.4!}$;

D. $\frac{16!}{12!}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi cách chọn 4 trong 16 thành viên để bầu ban chấp hành (có phân biệt thứ tự) là một chỉnh hợp chập 4 của 16 phần tử $A_{16}^4=\frac{16!}{\left(16-4\right)!}=\frac{16!}{12!}$.

Câu 7. Có bao nhiêu cách xếp 6 người thành một hàng dọc

A. 720;

B. 6;

C. 120;

D. 480.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách xếp 6 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 6 người đó. Vậy số cách xếp 6 người thành một hàng dọc là: 6! = 720

Câu 8.Xếp 6 người A, B, C, D, E, F thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu A đứng đầu hàng

A. 120;

B. 48;

C. 720;

D. 240.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì A đứng đầu hàng nên A có 1 cách xếp

Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí có 5! = 120 cách xếp.

Vậy có 1.120 = 120 cách xếp

Câu 9. Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 4 bạn nữ ngồi vào bảy ghế kê theo hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho 3 bạn nam ngồi cạnh nhau?

A. 720;

B. 1440;

C. 288;

D. 240.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì xếp 3 bạn nam luôn ngồi cạnh nhau nên ta coi 3 bạn nam là một vị trí xếp. Vậy ta còn 5 vị trí để xếp. Mỗi cách xếp 5 vị trí này là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy số cách xếp 5 vị trí là: 5! = 120 (cách)

Ngoài 5 vị trí xếp trên trong nhóm 3 bạn nam ta cũng xếp 3 bạn vào 3 vị trí số cách xếp này là 3! = 12 (cách)

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách xếp 3 bạn nam và 4 bạn nữ ngồi thành một hàng ngang thoả mãn 3 bạn nam ngồi cạnh nhau là: 12.120 = 1440 (cách)

Câu 10.Trong một buổi hoà nhạc, có các ban nhạc của các trường đại học từ Huế, Đà Nằng, Quy Nhơn, Nha Trang, Đà Lạt tham dự. Tìm số cách xếp đặt thứ tự để các ban nhạc Nha Trang sẽ biểu diễn đầu tiên.

A. 4;

B. 20;

C. 24;

D. 120.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì có 5 ban nhạc tham gia biểu diễn mà ban nhạc Nha Trang biểu diễn đầu tiên nên ta sắp xếp thứ tự biểu diễn của 4 ban nhạc còn lại có 4! = 24 cách.

Câu 11.Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn $A_n^3+5A_n^2=2\left(n+15\right)$?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện n ≥ 3; n $\in$ ℕ

Ta có $A_n^3+5A_n^2=2\left(n+15\right)$ $\iff \frac{n!}{\left(n-3\right)!}+5.\frac{n!}{\left(n-2\right)!}=2\left(n+15\right)$.

$\iff$ n(n – 1)(n – 2) + 5n(n – 1) = 2(n + 15)

$\iff$ n³ + 2n² – 5n – 30 = 0

$\iff$ (n – 3)(n² + 5n + 10) = 0

$\iff$ n = 3 (vì n² + 5n + 10 > 0 với mọi n)

Vậy có 1 giá tri của n thoả mãn điều kiện.

Câu 12.Có bao nhiêu giá trị của x thoả mãn $P_x{A}_x^2+72=6(A_x^2+2P_x)$

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x ≥ 2; x $\in$ ℕ

Phương trình $P_x{A}_x^2+72=6(A_x^2+2P_x)$$\iff A_x^2\left(P_x-6\right)-12(P_x-6)=0$

Kết hợp với điều kiện x = 3; x = 4 thoả mãn. Vậy có 2 giá trị của x.

Câu 13.Trong một biểu kỉ niệm ngày thành lập trường, bí thư Đoàn trường cần chọn 4 tiết mục từ 6 tiết mục mục hát và 4 tiết mục từ 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn và xếp thứ tự sao cho các tiết mục hát và múa xen kẽ nhau?

A. 43 200;

B. 75;

C. 86 400;

D. 480.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giả sử các tiết mục được biểu diễn đánh số thứ tự từ 1 đến 8. Vì số lượng tiết mục hát và múa bằng nhau nên có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tiết mục hát diễn ra đầu tiên

Khi đó, các tiết mục hát có số thứ tự là số lẻ, còn các tiết mục múa có số thứ tự là số chẵn. Như vậy, thứ tự của các tiết mục múa và hát được cố định, chỉ thay đổi thứ tự giữa các tiết mục múa, hoặc giữa các tiết mục hát.

Chọn 4 tiết mục hát từ 6 tiết mục hát và xếp thứ tự có:

$A_6^4=360$ (cách)

Chọn 4 tiết mục múa từ 5 tiết mục múa và xếp thứ tự có:

$A_5^4=120$ (cách)

Khi đó, số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ trong trường hợp tiết mục hát diễn ra đầu tiên là:

360.120 = 43 200

Trường hợp 2: Tiết mục múa diễn ra đầu tiên

Tương tự, số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ trong trường hợp tiết mục múa diễn ra đầu tiên là:

120.360 = 43 200

Vậy số cách chọn và xếp thứ tự các tiết mục văn nghệ sao cho các tiết mục hát và múa xen kẽ nhau là:

43 200 + 43 200 = 86 400.

Câu 14.Tìm số nguyên dương n sao cho: $A_n^2-A_n^1=8$.

A. 4;

B. 5;

C. 6;

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: n ≥ 2; n $\in$ ℕ

Ta có $A_n^2-A_n^1=8\iff \frac{n!}{(n-2)!}-\frac{n!}{(n-1)!}=8\iff n(n-1)-n=8$.

$\iff$ n(n – 1) – n = 8

$\iff$ n² – 2n – 8 = 0

$\iff$ n = 4 hoặc n = – 2

Kết hợp với điều kiện n = 4 thoả mãn

Câu 15.Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n thoả mãn:$P_{n-1}.A_{n+4}^4<15P_{n+2}$

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: n ≥ 1; n $\in$ ℕ

Ta có $P_{n-1}.A_{n+4}^4<15P_{n+2}\iff (n-1)!\frac{(n+4)!}{n!}<15(n+2)!$

$\iff \frac{(n+4)(n+3)}{n}<15$

$\iff$ n² – 8n + 12 < 0

$\iff$ 2 < n < 6

Vậy có 3 giá trị nguyên dương của n là: 3; 4; 5.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tổ hợp

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

Trắc nghiệm Ôn tập chương 5