30 câu Trắc nghiệm Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ (Cánh diều 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Câu 1. Cho hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD};$

B. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD};$

C. 

D. Hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì 

Câu 2. Tam giác ABC có $AB=3,AC=6,\widehat{BAC}=60°$. Tính độ dài đường cao h kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC của tam giác.

A. $h=3\sqrt{3}$;

B. $h=\sqrt{3}$;

C. $h=3$;

D. $h=\frac{3}{2}$;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lý hàm số cosin, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC\cos A=27\Rightarrow BC=3\sqrt{3}$ (đơn vị độ dài).

Ta có: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \hat{A}=\frac{1}{2}\mathrm{.3.6.}\sin {60}^0=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích).

Lại có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BC.h_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{BC}=3$ (đơn vị độ dài).

Câu 3. Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{b}$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương;

B. Hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ngược hướng;

C. Hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng độ dài;

D. Hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có : $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$. Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Câu 4. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$?

A. ABCD là hình bình hành.

B. ABCD là hình tứ giác

C. AC = BD

D. AB = CD

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : A

Ta có:

 là hình bình hành.

Mặt khác, ABCD là hình bình hành  và $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC}$ cùng hướng <$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ là ABCD là hình bình hành.

Câu 5. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1cm và có $\widehat{BAD}=60°$. Tính độ dài AC.

A. $AC=\sqrt{3};$

B. $AC=\sqrt{2};$

C. $AC=2\sqrt{3};$

D. AC = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Do ABCD là hình thoi, có $\widehat{BAD}=60°\Rightarrow \widehat{ABC}=120°$.

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$

$\Rightarrow 1^2+1^2-\mathrm{2.1.1.}\cos 120°=3\Rightarrow AC=\sqrt{3}$

Câu 6. Tam giác ABC có $AB=5,BC=7,CA=8$. Số đo góc $\hat{A}$ bằng:

A. $30°;$

B. $45°;$

C. $60°;$

D. $90°.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có:$\cos \hat{A}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}=\frac{5^2+8^2-7^2}{\mathrm{2.5.8}}=\frac{1}{2}$.

Do đó, $\hat{A}=60°$.

Câu 7. Tam giác ABC có $AC=4,\widehat{BAC}=30°,\widehat{ACB}=75°$. Tính diện tích tam giác ABC.

A. $S_{\Delta ABC}=8$;

B.$S_{\Delta ABC}=4\sqrt{3}$;

C. $S_{\Delta ABC}=4$;

D. $S_{\Delta ABC}=8\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\widehat{ABC}={180}^0-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ACB}\right)=75°=\widehat{ACB}$.

Suy ra tam giác ABC cân tại A nên $AB=AC=4$.

Diện tích tam giác ABC là $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin \widehat{BAC}=4$ (đơn vị diện tích)

Câu 8. Cho tam giác ABC, có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C.

A. 3

B. 6

C. 4

D. 9

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đó là các vectơ: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AC}.$

Câu 9. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ – không, cùng phương với $\overrightarrow{OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

A. 4;

B. 6;

C. 7;

D. 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đó là các vectơ: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{ED},\overrightarrow{FC},\overrightarrow{CF}$.

Câu 10. Tam giác ABC có $AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3}$ và $\hat{C}=45°$. Tính độ dài cạnh BC.

A. $BC=\sqrt{5};$

B. $BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};$

C. $BC=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2};$

D. $BC=\sqrt{6}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2.AC.BC.\cos \hat{C}$

$\Rightarrow {\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+B{C}^2-2.\sqrt{3}.BC.\cos 45°$

$\Rightarrow$$B{C}^2$– $\sqrt{6}$.BC + 1 = 0

$\Rightarrow BC=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.

Câu 11. Cho tam giác OAB vuông cân tại O cạnh OA = a. Khẳng định nào sau đây sai:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

– Gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho

$OC=3OA$$\Rightarrow 3\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}.$

Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho

$OD=4OB$$\Rightarrow 4\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}.$

Dựng hình chữ nhật OCED suy ra $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}$ (quy tắc hình bình hành).

Ta có: 

Do đó, A đúng

– B đúng, vì 

– D đúng, vì 

Vậy chỉ còn đáp án C.

Câu 12. Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC};$

B. $\overrightarrow{HC}=-\overrightarrow{HB};$

C. 

D. $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{HC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : A

Tam giác ABC cân ở A, đường cao AH. Do đó, H là trung điểm BC (tính chất tam giác cân).

Ta có:

–  Do đó, B đúng.

– H là trung điểm . Do đó, C, D đúng.

Câu 13. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho $3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$ và $3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DC}.$ Tính vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}.$

A. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC};$

B. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC};$

C. $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC};$

D. $\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$

Suy ra $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}+2\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}\right)$

$=\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right)+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}\right).$

Theo bài ra, ta có: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}.$ Thật vậy:

$3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}\iff 3\overrightarrow{AM}=2\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\right)$

$\iff 3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{MB}$

$\iff \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$

$\iff 2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AM}=0$

$\iff 2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=0$

$3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DC}\iff 3\overrightarrow{DN}=2(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{NC})$

$\iff 3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{NC}$

$\iff \overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{NC}$

$\iff \overrightarrow{DN}-2\overrightarrow{NC}=0$

$\iff \overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}=0$

Vậy $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}\iff \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$

Câu 14. Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính hiệu $\overrightarrow{AD}$ – $\overrightarrow{AB}$:

A. $\overrightarrow{AD}$;

B. $\overrightarrow{CB}$;

C. $\overrightarrow{AB}$;

D. $\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng quy tắc 3 điểm cho A, B, D ta có: $\overrightarrow{AD}$ – $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{BD}$.

Câu 15. Tam giác ABC có $AB=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},BC=\sqrt{3},CA=\sqrt{2}$. Gọi D là chân đường phân giác trong góc $\hat{A}$. Khi đó góc $\widehat{ADB}$ bằng bao nhiêu độ?

A. $45°;$

B. $60°;$

C. $75°;$

D. $90°.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=120°\Rightarrow \widehat{BAD}=60°$

$\cos \widehat{ABC}=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}=45°$

Trong $\Delta ABD$ có $\widehat{BAD}=60°,\widehat{ABD}=45°\Rightarrow \widehat{ADB}=75°$.

Câu 16. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC};$

B. $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC};$

C. $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC};$

D. $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án ta thấy cần phân tích vectơ $\overrightarrow{DM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BC}.$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

Và M là trung điểm AB nên $2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}.$

Câu 17. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP};$

B. 

C. $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP};$

D. 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:  (do cùng song song và bằng $\frac{1}{2}AC$).

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Vì MNPQ là hình bình hành nên 

Câu 18. Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GFC bằng:

A. ${\text{50 cm}}^{\text{2}}$;

B. $\text{50}\sqrt{2}{\text{cm}}^{\text{2}};$

C. ${\text{75 cm}}^{\text{2}}$;

D. $\text{15}\sqrt{105}{\text{cm}}^{\text{2}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì F là trung điểm của AC$\Rightarrow$$FC=\frac{1}{2}AC=15cm.$

Đường thẳng BF cắt CE tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC.

Khi đó: $\frac{d\left(B;\left(AC\right)\right)}{d\left(G;\left(AC\right)\right)}=\frac{BF}{GF}=3\Rightarrow d\left(G;\left(AC\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(B;\left(AC\right)\right)=\frac{AB}{3}=10cm.$

Vậy diện tích tam giác GFC là:

$S_{\Delta GFC}=\frac{1}{2}.d\left(G;\left(AC\right)\right).FC=\frac{1}{2}\mathrm{.10.15}=75c{m}^2.$

Câu 19. Cho tam giácABC đều cạnh a.Tính 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow AH\perp BC.$

Xét tam giác vuông AHC ta có:

$A{H}^2+H{C}^2=A{C}^2$

$\iff AH=\sqrt{A{C}^2-H{C}^2}$

$\iff AH=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}$

Suy ra $AH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Ta lại có 

Suy ra : 

Câu 20. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{BC}.$

A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC};$

B. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AM};$

C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC};$

D. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$

Câu 21. Cho góc $\widehat{xOy}=30°$. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A. $\frac{3}{2};$

B. $\sqrt{3};$

C. $\sqrt{3};$

D. 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm sin, ta có:

$\frac{OB}{\sin \widehat{OAB}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\iff OB=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}.\sin \widehat{OAB}$

$\iff \frac{1}{\sin 30°}.\sin \widehat{OAB}=2\sin \widehat{OAB}$

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi

$\sin \widehat{OAB}=1\iff \widehat{OAB}=90°$.

Khi đó OB = 2.

Câu 22. Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho $NC=2NA$. Gọi K là trung điểm của MN. Khi đó :

A. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.$

B. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}.$

C. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}.$

D. $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì K là trung điểm của MN nên ta có :

Ta có : $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)$.

Mà M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NC = 2AN nên ta có :

Do đó, $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Câu 23. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn  và hai vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau. Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

A. $\alpha ={90}^0;$

B. $\alpha ={180}^0;$

C. $\alpha ={60}^0;$

D. $\alpha ={45}^0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\iff \left(\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=0\iff \frac{2}{5}{\overrightarrow{a}}^2-\frac{13}{5}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^2=0$

Suy ra

Câu 24. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}.$

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=a^2;$

B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2};$

C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\frac{a^2}{2};$

D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{B}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)={120}^0$ (do tam giác ABC là tam giác đều nên góc $\hat{B}=60°$, do đó, góc ngoài của góc B có số đo là 120^o).

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}.$

Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính hiệu $\overrightarrow{CB}$ – $\overrightarrow{AB}$

A. $\overrightarrow{CB}$;

B. $\overrightarrow{AB}$;

C. $\overrightarrow{BA}$;

D. $\overrightarrow{CA}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:  và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$$\Rightarrow$$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+(-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$

Câu 26. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4 cm có diện tích bằng:

A. $13{\text{cm}}^{\text{2}}$;

B. $13\sqrt{2}{\text{cm}}^{\text{2}}$;

C. $12\sqrt{3}{\text{cm}}^{\text{2}};$

D. $15{\text{cm}}^{\text{2}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh bằng a.

Theo định lí sin, ta có: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\iff \frac{a}{\sin {60}^0}=2.4\iff a=8.\sin {60}^0=4\sqrt{3}$ (đơn vị độ dài).

Vậy diện tích cần tính là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}.{\left(4\sqrt{3}\right)}^2.\sin {60}^0=12\sqrt{3}c{m}^2.$

Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{a}^2;$

B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}{a}^2;$

C. $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=\frac{a^2}{6};$

D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}{a}^2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

– Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là góc $\hat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0.$(do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}$$\Rightarrow$A đúng

– Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}\Rightarrow$B đúng.

– Xác định được góc $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)$ là góc $\widehat{AGB}$ nên $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)={120}^0.$

Ta có: AG nằm trên đường trung tuyến cũng chính là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được đường cao, suy ra: AG = $\frac{2}{3}$.a.$\frac{\sqrt{3}}{2}$= $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Tương tự, GB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.cos\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{120}^0=-\frac{a^2}{6}\Rightarrow$C sai.

– Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)$ là góc $\widehat{GAB}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)={30}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)=a.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{30}^0=\frac{a^2}{2}\Rightarrow$D đúng.

Câu 28. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c; AC = b. Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}.$

A.$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=b^2;$>

B. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=c^2;$

C. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=b^2+c^2;$

D.$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=b^2-c^2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dung định lý Py – ta – go ta có:

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\iff BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{c^2+b^2}$

Cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}$

Lại có: cos B chính là cos $\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)$

Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=BA.BC.cos\hat{B}=c.\sqrt{b^2+c^2}.\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}=c^2.$

Câu 29. Tam giác ABC có $BC=2\sqrt{3},AC=2AB$ và độ dài đường cao AH = 2. Tính độ dài cạnh AB.

A. AB = 2;

B. $AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}$;

C. AB = 2 hoặc $AB=\frac{2\sqrt{21}}{3}$;

D. AB = 2 hoặc $AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nửa chu vi là:

Ta có: $p=\frac{AB+BC+CA}{2}=\frac{2\sqrt{3}+3AB}{2}$.

Suy ra $S=\sqrt{\left(\frac{3AB+2\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{3AB-2\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}-AB}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+AB}{2}\right)}$.

Lại có $S=\frac{1}{2}BC.AH=2\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Từ đó ta có: $2\sqrt{3}=\left(\frac{3AB+2\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{3AB-2\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}-AB}{2}\right)\left(\frac{2\sqrt{3}+AB}{2}\right)$

Câu 30.Cho tam giác ABC có $BC=a,CA=b,AB=c.$ Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}.$

A. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{b^2-c^2}{2};$

B. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2}{2};$

C. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2+a^2}{3};$

D. $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.$

Khi đó

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right)=\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{b^2-c^2}{2}.$

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Ôn tập chương 4

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tổ hợp