Giải SGK Toán 10 Bài 2 (Cánh diều): Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Video giải Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác – Cánh diều

Giải Toán 10 trang 72 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 72 Toán lớp 10: Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để đo khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,…) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau: 
Từ vị trí A, đo góc nghiêng $\alpha$ so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng $\beta$ so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18).
Bằng cách giải tam giác ABC,họ tính được khoảng cách AC.

Giải tam giác được hiểu như thế nào?

Lời giải:

Giải tam giác là việc đi tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Trong trường hợp này, giải tam giác ABC được hiểu là tìm cạnh AC khi biết cạnh AB, góc A và góc B.

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

Mà $AB=d,\hat{B}=\beta ;\hat{C}={180}^o-\alpha -\beta$

$\Rightarrow AC=\sin \beta \frac{d}{\sin \left({180}^o-\alpha -\beta \right)}$

I. Giải tam giác

Hoạt động 1 trang 72 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $AB=c,AC=b,\hat{A}=\alpha$. Viết công thức tính BC theo $b,c,\alpha$

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos A$

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos A$

$\begin{array}{l}\iff B{C}^2=c^2+b^2-2.c.b.\cos \alpha \\ \iff BC=\sqrt{c^2+b^2-2bc.\cos \alpha }\end{array}$

Hoạt động 2 trang 72 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $AB=c,Ac=b,BC=a$. Viết công thức tính cos A.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, từ đó suy ra công thức tính cos A.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2.AB.AC.\cos A$

$\begin{array}{l}\iff a^2=c^2+b^2-2.c.b.\cos A\\ \iff 2bc\cos A=b^2+c^2-a^2\\ \iff \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\end{array}$

Chú ý:

Tương tự, ta suy ra công thức tính $\cos B,\cos C$ như sau:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Giải Toán 10 trang 73 Tập 1

Hoạt động 3 trang 73 Toán lớp 10: Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$

II. Tính diện tích tam giác

Giải Toán 10 trang 74 Tập 1

Luyện tập vận dụng 1 trang 74 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB = 12; $\hat{B}={60}^o$; $\hat{C}={45}^o$. Tính diện tích của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AC, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

Bước 2: Tính $\hat{A}$. Suy ra diện tích tam giác ABC bằng công thức $S=\frac{1}{2}bc.\sin A$

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AC=\sin B.\frac{AB}{\sin C}=\sin {60}^o.\frac{12}{\sin {45}^o}=6\sqrt{6}$

Lại có: $\hat{A}={180}^o-({60}^o+{45}^o)={75}^o$

$\Rightarrow$Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.12.6\sqrt{6}.\sin {75}^o\approx 85,2$

Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.

Hoạt động 5 trang 74 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).

a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:

$\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ở đó $p=\frac{a+b+c}{2}$

b) Bằng cách sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}bc\sin A$,hãy chứng tỏ rằng: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cos A theo a, b, c.

Bước 2: Tính sin A theo cos A.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A$$\Rightarrow \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Mà $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$.

$\Rightarrow \sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}=\sqrt{\frac{{(2bc)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}{{(2bc)}^2}}$

$\iff \sin A=\frac{1}{2bc}\sqrt{{(2bc)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}$

Đặt $M=\sqrt{{(2bc)}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}$

$\begin{array}{l}\iff M=\sqrt{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)}\\ \iff M=\sqrt{\left[{(b+c)}^2-a^2\right].\left[a^2-{(b-c)}^2\right]}\\ \iff M=\sqrt{(b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)}\end{array}$

Ta có: $a+b+c=2p$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}b+c-a=2p-2a=2(p-a)\\ a-b+c=2p-2b=2(p-b)\\ a+b-c=2p-2c=2(p-c)\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff M=\sqrt{2(p-a).2p.2(p-b).2(p-c)}\\ \iff M=4\sqrt{(p-a).p.(p-b).(p-c)}\\ \Rightarrow \sin A=\frac{1}{2bc}.4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\ \iff \sin A=\frac{2}{bc}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{array}$

b) Ta có: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$

Mà $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow S=\frac{1}{2}bc.\left(\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\right)\\ \iff S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\end{array}$

III. Áp dụng vào bài toán thực tiễn

Giải Toán 10 trang 76 Tập 1

Luyện tập vận dụng 2 trang 76 Toán lớp 10: Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là ${34}^o$, góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là ${24}^o$. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Gọi A là vị trí đứng của Nam, B là điểm cao nhất của cây, C là vị trí gốc cây.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Ta có hình vẽ:

TH1: Cây cao hơn tòa nhà

TH2: Cây thấp hơn tòa nhà

Bài tập

Giải Toán 10 trang 77 Tập 1

Bài 1 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $BC=12,CA=15,\hat{C}={120}^o.$ Tính:

a) Độ dài cạnh AB.

b) Số đo các góc A, B.

c) Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC (tại đỉnh C).

b) Bước 1: Tính sin A, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$.

Bước 2: Tính góc A, từ đó suy ra góc B.

c) Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức $S=\frac{1}{2}ab.\sin C$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2.AC.BC.\cos C$

$\begin{array}{l}\iff A{B}^2={15}^2+{12}^2-\mathrm{2.15.12.}\cos {120}^o\\ \iff A{B}^2=549\\ \iff AB\approx 23,43\end{array}$

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{BC}{AB}.\sin C=\frac{12}{23,43}.\sin {120}^o\approx 0,44$

$\Rightarrow \hat{A}\approx {26}^o$ hoặc $\hat{A}\approx {154}^o$ (Loại)

Khi đó: $\hat{B}={180}^o-({26}^o+{120}^o)={34}^o$

c)

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}CA.CB.\sin C=\frac{1}{2}.15.12.\sin {120}^o=45\sqrt{3}$

Bài 2 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $AB=5,BC=7,\hat{A}={120}^o.$ Tính độ dài cạnh AC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính sin C, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

Bước 2: Suy ra góc $\hat{C},\hat{B}$. Tính AC bằng cách áp dụng định lí cosin:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos B$

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C=\sin A.\frac{AB}{BC}=\sin {120}^o.\frac{5}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$

$\Rightarrow \hat{C}\approx 38,2^o$ hoặc $\hat{C}\approx 141,8^o$ (Loại)

Ta có: $\hat{A}={120}^o,\hat{C}=38,2^o$$\Rightarrow \hat{B}={180}^o-\left({120}^o+38,2^o\right)=21,8^o$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l}A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos B\\ \iff A{C}^2=5^2+7^2-\mathrm{2.5.7.}\cos 21,8^o\\ \Rightarrow A{C}^2\approx 9\\ \Rightarrow AC=3\end{array}$

Vậy độ dài cạnh AC là 3.

Bài 3 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $AB=100,\hat{B}={100}^o,\hat{C}={45}^o.$ Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC

b) Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tính $\hat{A}$.

Bước 2: Tính AC, BC bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

b) Tính diện tích tam giác ABC bằng một trong 4 công thức sau:

+) $S=\frac{1}{2}.bc.\sin A=\frac{1}{2}.ac.\sin B=\frac{1}{2}.ab.\sin C$

+) $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Lời giải:

a)

Ta có: $\hat{A}={180}^o-(\hat{B}+\hat{C})$ $\Rightarrow \hat{A}={180}^o-({100}^o+{45}^o)={35}^o$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}AC=\sin B.\frac{AB}{\sin C}\\ BC=\sin A.\frac{AB}{\sin C}\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}AC=\sin {100}^o.\frac{100}{\sin {45}^o}\approx 139,3\\ BC=\sin {35}^o.\frac{100}{\sin {45}^o}\approx 81,1\end{array}$

b)

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.BC.AC.\sin C=\frac{1}{2}.81,1.139,3.\sin {45}^o\approx 3994,2.$

Bài 4 trang 77 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có $AB=12,AC=15,BC=20.$ Tính:

a) Số đo các góc A, B, C.

b) Diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, suy công thức tính $\cos A,\cos B$ theo a, b, c.

Bước 2: Tìm góc A, B. Từ đó suy ra góc C.

b) Tính diện tích tam giác ABC bằng một trong 4 công thức sau:

+) $S=\frac{1}{2}.bc.\sin A=\frac{1}{2}.ac.\sin B=\frac{1}{2}.ab.\sin C$

+) $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

Thay $a=BC=20;b=AC=15;c=AB=12.$

$\Rightarrow \cos A=-\frac{31}{360};\cos B=\frac{319}{480}$

$\Rightarrow \hat{A}=94,9^o;\hat{B}=48,3^o$

$\Rightarrow \hat{C}={180}^o-\left(94,9^o+48,3^o\right)=36,8^o$

b)

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.bc.\sin A=\frac{1}{2}.15.12.\sin 94,9^o\approx 89,7.$

Bài 5 trang 77 Toán lớp 10: Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc B: Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

Bước 2: Tính góc C. Áp dụng định lí sin hoặc định lí cosin để tìm AB

Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin A}{BC}=\frac{5,2.\sin {40}^o}{3,6}\approx 0,93$

$\Rightarrow \hat{B}\approx 68,2^o$ hoặc $\hat{B}\approx 111,8^o$

Trường hợp 1: $\hat{B}\approx 68,2^o$

Ta có: $\hat{C}={180}^o-(\hat{A}+\hat{B})={180}^o-({40}^o+68,2^o)=71,8^o$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AB=\sin C.\frac{BC}{\sin A}=\sin 71,8^o.\frac{3,6}{\sin {40}^o}\approx 5,32$

Trường hợp 2: $\hat{B}\approx 111,8^o$

Ta có: $\hat{C}={180}^o-(\hat{A}+\hat{B})={180}^o-({40}^o+111,8^o)=28,2^o$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AB=\sin C.\frac{BC}{\sin A}=\sin 28,2^o.\frac{3,6}{\sin {40}^o}\approx 2,65$

Vậy AB = 5,32 hoặc AB = 2,65.

Bài 6 trang 77 Toán lớp 10: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà ta không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và $\widehat{ACB}={105}^o$ (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười đơn vị mét).

Phương pháp giải:

Bước 1: Đổi độ dài AC, CB về cùng đơn vị mét.

Bước 2: Tính AB: Áp dụng định lí cosin trong tam giác BAC: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2.AC.BC.\cos C$

Lời giải:

Đổi: 1 km = 1000 m. Do đó AC = 1000 m.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2.AC.BC.\cos C$

$\begin{array}{l}\Rightarrow A{B}^2={1000}^2+{800}^2-\mathrm{2.1000.800.}\cos {105}^o\\ \Rightarrow A{B}^2\approx 2054110,5\\ \Rightarrow AB\approx 1433,2\end{array}$

Vậy khoảng cách AB là 1433,2 m.

Bài 7 trang 77 Toán lớp 10: Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là ${45}^o$ và ${75}^o$. Biết khoảng cách giữa hai vị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Phương pháp giải:

Gọi C là vị trí ngọn hải đăng, H là hình chiếu của C trên AB.

Bước 1: Tính góc ACB, ABC.

Bước 2: Tính AC bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

Bước 3: Tính AH bằng công thức: AH = AC. cos A.

Lời giải:

Gọi C là vị trí ngọn hải đăng và H là hình chiếu của C trên AB.

Khi đó CH là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển.

Ta có: $\widehat{ABC}={180}^o-\widehat{CBH}={180}^o-{75}^o={115}^o$

$\Rightarrow \widehat{ACB}={180}^o-(\hat{A}+\widehat{ACB})={180}^o-({45}^o+{115}^o)={20}^o$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow AC=\sin B.\frac{AB}{\sin C}=\sin {115}^o.\frac{30}{\sin {20}^o}\approx 79,5$

Tam giác ACH vuông tại H nên ta có:

$CH=\sin A.AC=\sin {45}^o.79,5\approx 56$

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển 56 m.

Bài giảng Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác – Cánh diều

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

Bài 3: Khái niệm vectơ

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ