Giải SGK Toán 10 Bài 2 (Cánh diều): Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Video giải Toán 10 Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp – Cánh diều

Giải Toán 10 trang 12 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 12 Toán lớp 10: Làm thế nào để diễn tả mối quan hệ giữa tập hợp A và tập hợp B?

Lời giải:

Vì các học sinh tổ I đều là các học sinh lớp 10D nên tập hợp B là tập con của tập hợp A.

Kí hiệu: $B\subset A$

I. Tập hợp

Hoạt động 1 trang 12 Toán lớp 10: Ở lớp 6, ta đã làm quen với khái niệm tập hợp, kí hiệu và cách viết tập hợp, phần tử thuộc tập hợp. Hãy nêu cách cho một tập hợp.

Lời giải:

Có hai cách cho một tập hợp:

+) Liệt kê các phần tử của tập hợp.

Chẳng hạn: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp đó.

Chẳng hạn: A = {$x\in \mathbb{N}|0\le x\le 5$}

Hoạt động 2 trang 12 Toán lớp 10: Người ta còn minh họa tập hợp bằng một vòng kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu diễn bởi một chấm bên trong vòng kín, còn phần tử không thuộc tập hợp đó được biểu diễn bởi một chấm bên ngoài  vòng kín (Hình 1). Cách minh họa tập hợp như vậy được gọi là biểu đồ Ven.

a) Viết tập hợp A trong Hình 1 bằng cách liệt kê các phần tử của các tập hợp đó.

b) Nêu phần tử không thuộc tập hợp A

Phương pháp giải:

a) Liệt kê các phần tử biểu thị bởi chấm bên trong vòng kín.

b) Xác định các phần tử không thuộc A (các chấm bên ngoài vòng kín)

Lời giải:

a) Tập hợp A là: A = {a; b; c}

b) Phần tử không thuộc tập hợp A là: d.

Hoạt động 3 trang 12 Toán lớp 10: Nêu số phần tử của mỗi tập hợp sau:

$C=\{x\in \mathbb{R}|x^2<0\},$ $D=\{a\},E=\{b;c;d\},$$\mathbb{N}=\left\{0;1;2;..\right\}$

Phương pháp giải:

Viết lại tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử, đếm số phần tử của tập hợp đó.

Lời giải:

$C=\{x\in \mathbb{R}|x^2<0\}$. Tập hợp C không chứa phần tử nào vì bình phương mọi số thực đều không âm.

$D=\{a\},$ tập hợp D có duy nhất 1 phần tử là a.

$E=\{b;c;d\},$ tập hợp E có 3 phần tử.

$\mathbb{N}=\left\{0;1;2;..\right\}$: tập hợp N có vô số phần tử.

Giải Toán 10 trang 13 Tập 1

Luyện tập vận dụng 1 trang 13 Toán lớp 10: Nêu số phần tử của mỗi tập hợp sau:

$G=\{x\in \mathbb{R}|x^2+1=0\},$ $\mathbb{N}\ast =\left\{1;2;3;..\right\}.$

Phương pháp giải:

Viết lại tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử, đếm số phần tử của tập hợp đó.

Lời giải:

$G=\{x\in \mathbb{R}|x^2+1=0\}$. Tập hợp G không chứa phần tử nào vì $x^2+1>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

$\mathbb{N}\ast =\left\{1;2;3;..\right\}.$: tập hợp N* có vô số phần tử.

II. Tập con và tập hợp bằng nhau

Hoạt động 4 trang 13 Toán lớp 10: Cho hai tập hợp:

$A=\{x\in \mathbb{Z}|-3<x<3\},$$B=\{x\in \mathbb{Z}|-3\le x\le 3\}$

a) Viết tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.

b) Mỗi phần tử của tập hợp A có thuộc tập hợp B không?

Lời giải:

a) $A=\{-2;-1;0;1;2\}$

$B=\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$

b) Mỗi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B.

Luyện tập vận dụng 2 trang 13 Toán lớp 10: Cho hai tập hợp:

$A=\{n\in N|n$chia hết cho 3},

$B=\{n\in N|n$chia hết cho 9}.

Chứng tỏ rằng $B\subset A.$

Phương pháp giải:

Lấy một phần tử bất kì của tập hợp B, chứng minh phần tử đó thuộc A.

Lời giải:

Lấy n bất kì thuộc tập hợp B.

Ta có: n chia hết cho 9 $\Rightarrow n=9k(k\in \mathbb{N})$

$\Rightarrow n=3.(3k)⋮3(k\in \mathbb{N})$

$\Rightarrow n\in A$

Như vậy, mọi phần tử của tập hợp B đều là phần tử của tập hợp A hay $B\subset A.$

Giải Toán 10 trang 14 Tập 1

Hoạt động 5 trang 14 Toán lớp 10: Cho hai tập hợp:

$A=\{n\in N|n$ là bội chung của 2 và 3},

$B=\{n\in N|n$ là bội của 6}.

Các mệnh đề sau có đúng không?

a) $A\subset B.$

b) $B\subset A.$

Phương pháp giải:

a) $A\subset B\iff \mathrm{\forall }n\in A:n\in B$

b) $B\subset A\iff \mathrm{\forall }n\in B:n\in A.$

Lời giải:

a) Nếu n là bội chung của 2 và 3 thì n là bội của 6, hay $n\in B$

Vậy mệnh đề $A\subset B$ đúng.

b) Nếu n là bội 6 thì n vừa là bội của 2 vừa là bội của 3.

Do đó n là bội chung của 2 và 3 hay $n\in A$.

Vậy mệnh đề $A\subset B$ đúng.

Luyện tập vận dụng 3 trang 14 Toán lớp 10: Cho hai tập hợp:

$E=\{n\in N|n$ chia hết cho 3 và 4}, và $G=\{n\in N|n$ chia hết cho 12}.

Chứng tỏ rằng E = G.

Phương pháp giải:

Ta chứng minh $E\subset G$ và $G\subset E$.

Chỉ ra mọi phần tử của tập hợp E đều là phần tử của tập hợp G và ngược lại.

Lời giải:

Ta có:

n chia hết cho 3 và 4 $\iff$n chia hết cho 12 (do (3,4) =1)

Do đó: nếu n là phần tử của tập hợp A thì n cũng là phần tử của tập hợp B và ngược lại.

Hay mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B và ngược lại.

Vậy $E\subset G$ và $G\subset E$ hay E = G.

III. Giao của hai tập hợp

Hoạt động 6 trang 14 Toán lớp 10: Lớp trưởng lập hai danh sách các bạn đăng kí tham gia câu lạc bộ thể thao như sau (biết trong lớp không có hai bạn nào cùng tên):

–  Bóng đá gồm: An, Bình, Chung, Dũng, Minh, Nam, Phương.

–  Bóng rổ gồm: An, Chung, Khang, Phong, Quang, Tuấn.

Hãy liệt kê danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ.

Lời giải:

Danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ là: An, Chung.

IV. Hợp của hai tập hợp

Giải Toán 10 trang 15 Tập 1

Hoạt động 7 trang 15 Toán lớp 10: Hai trường dự định tổ chức giải thi đấu thể thao cho học sinh lớp 10. Trường thứ nhất đề xuất ba môn thi đấu là: Bóng bàn, Bóng đá, Bóng rổ. Trường thứ hai đề xuất ba môn thi đấu là: Bóng đá, Bóng rổ, Cầu lông. Lập danh sách những môn thi đấu mà cả hai trường đã đề xuất.

Lời giải:

Danh sách những môn thi đấu mà cả hai trường đã đề xuất là: Bóng bàn, Bóng đá, Bóng rổ, Cầu lông.

Luyện tập vận dụng 4 trang 15 Toán lớp 10: Cho hai tập hợp:

$\begin{array}{l}A=\{x\in \mathbb{R}|x\le 0\},\\ B=\{x\in \mathbb{R}|x\ge 0\}.\end{array}$

Tìm $A\cap B,A\cup B.$

Phương pháp giải:

$\begin{array}{l}A\cap B=\{x\in A|x\in B\}\\ A\cup B=\{x\in A\text{hoặc }x\in B\}\end{array}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}A\cap B=\{0\}\\ A\cup B=\mathbb{R}\end{array}$

V. Phần bù. Hiệu của hai tập hợp

Hoạt động 8 trang 15 Toán lớp 10: Gọi $\mathbb{R}$ là tập hợp các số thực, I là tập hợp các số vô tỉ. Khi đó $I\subset \mathbb{R}$. Tìm tập hợp những số thực không phải là số vô tỉ.

Lời giải:

Tập hợp các số thực không phải là số vô tỉ chính là tập hợp $\mathbb{Q}$ các số hữu tỉ.

Giải Toán 10 trang 16 Tập 1

Hoạt động 9 trang 16 Toán lớp 10: Cho hai tập hợp: A = {2; 3; 5; 7; 14}, B = {3; 5; 7; 9; 11}.

Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B.

Phương pháp giải:

Lần lượt kiểm tra mỗi phần tử của A xem phần tử đó có thuộc B hay không. Ghi lại các phần tử không thuộc tập hợp B.

Lời giải:

Các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B là: 2; 14.

Luyện tập vận dụng 5 trang 16 Toán lớp 10: Cho hai tập hợp:

$A=\left\{x\in \mathbb{Z}|-2\le x\le 3\right\}$

$B=\{x\in \mathbb{R}|x^2-x-6=0\}$

Tìm $A\mathrm{\setminus }B$ và $B\mathrm{\setminus }A$.

Phương pháp giải:

Viết lại hai tập hợp dưới dạng liệt kê các phần tử.

Xác định $A\mathrm{\setminus }B=\{x\in A|x\notin B\}$ và $B\mathrm{\setminus }A=\{x\in B|x\notin A\}$

Lời giải:

Ta có: $A=\left\{x\in \mathbb{Z}|-2\le x\le 3\right\}=\{-2;-1;0;1;2;3\}$

Và $B=\{x\in \mathbb{R}|x^2-x-6=0\}=\{-2;3\}$

Khi đó:

Tập hợp $A\mathrm{\setminus }B$ gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Vậy$A\mathrm{\setminus }B=\{-1;0;1;2\}$.

 Tập hợp $B\mathrm{\setminus }A$ gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Vậy $B\mathrm{\setminus }A=\mathrm{\varnothing }$

Bài tập

Giải Toán 10 trang 18 Tập 1

Bài 1 trang 18 Toán lớp 10: Cho tập hợp $X=\{a;b;c\}$. Viết tất cả các tập con của tập hợp X.

Phương pháp giải:

+) tập hợp rỗng: $\mathrm{\varnothing }$

+) Liệt kê các tập con chứa 1, 2 hoặc 3 phần tử của tập hợp X

Lời giải:

Các tập con của tập hợp X là:

+) tập hợp rỗng: $\mathrm{\varnothing }$

+) Các tập con chỉ chứa 1 phần tử của tập hợp X: {a}, {b}, {c}.

+) Các tập con chứa 2 phần tử của tập hợp X: {a; b}, {b; c}, {c; a}

+) Tập con chứa 3 phần tử của tập hợp X: là tập hợp X = {a; b; c}

Chú ý:

+) Mọi tập hợp X đều có 2 tập con là: $\mathrm{\varnothing }$ và X.

Bài 2 trang 18 Toán lớp 10: Sắp xếp các tập hợp sau theo quan hệ “$\subset$“:

[2; 5], (2; 5), [2; 5), (1; 5].

Phương pháp giải:

$[a;b]=\{x\in \mathbb{R}|a\le x\le b\}$

$(a;b]=\{x\in \mathbb{R}|a<x\le b\}$

Lời giải:

$\left(2;5\right)\subset \left[2;5\right)\subset \left[2;5\right]\subset \left(1;5\right].$

Bài 3 trang 18 Toán lớp 10: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:

a) $[-3;7]\cap (2;5)$

b) $(-\mathrm{\infty };0]\cup (-1;2)$

c) $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }(-\mathrm{\infty };3)$

d) $(-3;2)\mathrm{\setminus }[1;3)$

Phương pháp giải:

Biểu diễn các tập hợp trên cùng 1 trục số.

Lời giải:

a) Đặt $A=[-3;7]\cap (2;5)$

Tập hợp A là khoảng (2; 5) và được biểu diễn là:

 

b) Đặt $B=(-\mathrm{\infty };0]\cup (-1;2)$

Tập hợp B là khoảng $(-\mathrm{\infty };2)$ và được biểu diễn là:

 

c) Đặt $C=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }(-\mathrm{\infty };3)$

Tập hợp C là nửa khoảng $[3;+\mathrm{\infty })$ và được biểu diễn là:

 

d)  Đặt $D=(-3;2)\mathrm{\setminus }[1;3)$

Tập hợp D là khoảng $(-3;1)$ và được biểu diễn là:

 

Bài 4 trang 18 Toán lớp 10: Gọi A là tập nghiệm của phương trình $x^2+x-2=0$,

B là tập nghiệm của phương trình $2x^2+x-6=0$

Tìm $C=A\cap B$.

Phương pháp giải:

Liệt kê các phần tử của A và B.

$A\cap B=\{x\in A|x\in B\}$

Lời giải:

Ta có: $x^2+x-2=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

$\Rightarrow A=\{1;-2\}$

Ta có: $2x^2+x-6=0\iff [\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ x=-2\end{array}$

$\Rightarrow B=\left\{\frac{3}{2};-2\right\}$

Vậy $C=A\cap B=\{-2\}$.

Bài 5 trang 18 Toán lớp 10: Tìm $D=E\cap G$ biết E và G lần lượt là tập nghiệm của hai bất phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) $2x+3\ge 0$ và $-x+5\ge 0$

b) $x+2>0$ và $2x-9<0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Giải hai bất phương trình, xác định hai tập hợp E và G.

Bước 2: Xác định $D=E\cap G=\{x\in E|x\in G\}$

Lời giải:

a) Ta có: $2x+3\ge 0\iff x\ge \frac{-3}{2}$

$\Rightarrow$ Tập hợp E là: $E=\left\{x\in \mathbb{R}|x\ge \frac{-3}{2}\right\}$

và $-x+5\ge 0\iff x\le 5$

$\Rightarrow$ Tập hợp G là $G=\left\{x\in \mathbb{R}|x\le 5\right\}$

$\Rightarrow E\cap G=${$x\in \mathbb{R}|$$x\ge \frac{-3}{2}$ và $x\le 5$} $=\left\{x\in \mathbb{R}|\frac{-3}{2}\le x\le 5\right\}$

Vậy tập hợp D $=\left\{x\in \mathbb{R}|\frac{-3}{2}\le x\le 5\right\}$

Bài 6 trang 18 Toán lớp 10: Gọi A là tập nghiệm của đa thức P(x). Viết tập hợp các số thực x sao cho biểu thức $\frac{1}{P(x)}$ xác định.

Phương pháp giải:

+) Điều kiện xác định của biểu thức $\frac{1}{P(x)}$ là: $P(x)\ne 0$

Lời giải:

Ta có: A là tập nghiệm của đa thức P(x)

$\Rightarrow A=\{x\in \mathbb{R}|P(x)=0\}$

Để biểu thức $\frac{1}{P(x)}$ xác định thì $P(x)\ne 0$ hay $x\notin A$.

Gọi B là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức $\frac{1}{P(x)}$ xác định.

$\Rightarrow B=\left\{x\in \mathbb{R}|x\notin A\right\}=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }A$ 

Bài 7 trang 18 Toán lớp 10: Lớp 10B có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao và 19 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc. Biết rằng có 10 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ trên.

a) Có bao nhiêu học sinh ở lớp 10B tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc?

b) Có bao nhiêu học sinh ở lớp 10B tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên?

c) Biết lớp 10B có 40 học sinh. Có bao nhiêu học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao? Có bao nhiêu học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ?

Lời giải:

a) Trong 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao có 10 học sinh tham gia cả câu lạc bộ âm nhạc

Vậy có 28-10=18 học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc

b) Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên là: 28 + 19 – 10 = 37 (học sinh)

c) Cả lớp có 40 học sinh, trong đó có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao.

Do đó số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao là: 40 – 28 = 12 (học sinh)

Cả lớp có 40 học sinh, trong đó có 37 học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ.

Vậy số học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ là: 40 – 37 = 3 (học sinh)

Bài 8 trang 18 Toán lớp 10: Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa, 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào.

Lời giải:

Vì nhóm có 12 học sinh, trong đó có 4 học sinh không tham gia tiết mục nào nên tổng số học sinh tham gia hai tiết mục múa và hát là: 12 – 4 = 8 (học sinh)

Lại có: Trong 5 học sinh tham gia tiết mục múa, có 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục

Vậy số học sinh chỉ tham gia tiết mục múa là: 5 – 3 = 2 (học sinh)

Do đó số học sinh tham gia tiết mục hát là: 8 – 2 = 6 (học sinh)

Vậy trong nhóm có 6 học sinh tham gia tiết mục hát.

Bài giảng Toán 10 Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp – Cánh diều

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Mệnh đề toán học

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn