Giải SGK Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Mệnh đề toán học

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Mệnh đề toán học

Video giải Toán 10 Bài 1: Mệnh đề toán học – Cánh diều

Giải Toán 10 trang 5 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 5 Toán lớp 10:

Trong hai phát biểu trên, phát biểu nào là mệnh đề toán học?

Lời giải:

Mệnh đề “Số 15 chia hết cho 5” là một mệnh đề toán học.

I. Mệnh đề toán học

Hoạt động 1 trang 5 Toán lớp 10: a) Phát biểu của bạn H’Maryam có phải là một câu khẳng định về tính chất chia hết trong toán học hay không?

b) Phát biểu của bạn phương có phải là một câu khẳng định về một sự kiện trong toán học hay không?

Lời giải:

a) Phát biểu của bạn H’Maryam là một câu khẳng định về tính chất chia hết trong toán học.

b) Phát biểu của bạn phương không phải là một câu khẳng định về một sự kiện trong toán học.

Luyện tập vận dụng 1 trang 5 Toán lớp 10: Nêu hai ví dụ về mệnh đề toán học.

Phương pháp giải:

Mệnh đề toán học là một phát biểu, một khẳng định (có thể đúng hoặc sai) về một sự kiện trong toán học.

Lời giải:

Chẳng hạn:

1. “Tổng ba góc trong tam giác bằng  ” (Phát biểu đúng)

2. “Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 10” (Phát biểu sai)

Giải Toán 10 trang 6 Tập 1

Hoạt động 2 trang 6 Toán lớp 10: Trong hai mệnh đề toán học sau đây, mênh đề nào là một khẳng định đúng? Mệnh đề nào là một khẳng định sai?

P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng ${180}^o$”

Q: “$\sqrt{2}$ là số hữu tỉ”

Phương pháp giải:

Kiểm tra tính đúng sai của từng mệnh đề

Lời giải:

Mệnh đề P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng ${180}^o$” đúng.

Mệnh đề Q: “$\sqrt{2}$ là số hữu tỉ” sai vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ, không phải một số hữu tỉ.

Luyện tập vận dụng 2 trang 6 Toán lớp 10: Nêu ví dụ về một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Phương pháp giải:

Mệnh đề là một phát biểu, một khẳng định (có thể đúng hoặc sai) về một sự kiện trong toán học.

+) Nêu một phát biểu đúng và một phát biểu sai trong toán học.

Lời giải:

Ví dụ:

“2 là số tự nhiên” – Mệnh đề đúng

“Trong một tam giác, đường cao luôn bằng đường trung tuyến kẻ từ cùng một đỉnh” – Mệnh đề sai.

II. Mệnh đề chứa biến

Hoạt động 3 trang 6 Toán lớp 10: Xét câu “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.

a) Ta có thể khẳng định được tính đúng sai của câu trên hay không?

b) Với n = 21 thì câu ”21 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?

c) Với n = 10 thì câu ”10 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?

Lời giải:

a) Ta chưa thể khẳng định được tính đúng sai của câu “n chia hết cho 3” do chưa có giá trị cụ thể của n.

b) Với n = 21 thì câu ”21 chia hết cho 3” là mệnh đề toán học. Mệnh đề này đúng.

c) Với n = 10 thì câu ”10 chia hết cho 3” là mệnh đề toán học. Mệnh đề này sai.

Luyện tập vận dụng 3 trang 6 Toán lớp 10: Nêu ví dụ về mệnh đề chứa biến.

Phương pháp giải:

Mệnh đề chứa biến là phát biểu chưa khẳng định được tính đúng sai của câu. Nhưng với mỗi giá trị cụ thể của biến, câu này cho ta một mệnh đề toán học mà ta có thể khẳng định được tính đúng sai của mệnh đề đó.

Lời giải:

Chẳng hạn P(n): “2n lớn hơn 10”, là một mệnh đề chứa biến.

III. Phủ định của một mệnh đề

Giải Toán 10 trang 7 Tập 1

Hoạt động 4 trang 7 Toán lớp 10: Hai bạn Kiên và Cường đang tranh luận với nhau.

Kiên nói: “Số 23 là số nguyên tố”.

Cường nói: “Số 23 không là nguyên tố”

Em có nhận xét gì về hai câu phát biểu của Kiên và Cường?

Lời giải:

Kiên nói: “Số 23 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng

Cường nói: “Số 23 không là nguyên tố” là mệnh đề sai.

Hai phát biểu này cùng nói về một nội dung nhưng hai ý kiến trái ngược nhau, trong đó phát biểu của Kiên là đúng, phát biểu của Cường là sai.

Luyện tập vận dụng 4 trang 7 Toán lớp 10: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

P: “5,15 là một số hữu tỉ”;

Q: “2 023 là số chẵn”.

Lời giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P, là mệnh đề “Không phải P” và kí hiệu là $\overline{P}$

Ta thêm (hoặc bớt) “không phải” vào vị trí hợp lí để lập mệnh đề phủ định.

Lời giải:

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\overline{P}$: “5,15 không phải là một số hữu tỉ”

Mệnh đề P đúng, $\overline{P}$ sai vì $5,15=\frac{103}{20}\in \mathbb{Q}$, là một số hữu tỉ.

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là $\overline{Q}$: “2 023 không phải là số chẵn” (hoặc “2 023 là số lẻ”)

Mệnh đề Q sai, $\overline{Q}$ đúng vì 2 023 có chữ số tận cùng là $3\ne \left\{0;2;4;6;8\right\}$, đo đó 2 023 không phải là số chẵn.

IV. Mệnh đề kéo theo

Hoạt động 5 trang 7 Toán lớp 10: Xét hai mệnh đề:

P: “Số tự nhiên n chia hết cho 6”; Q: “Số tự nhiên n chia hết cho 3”.

Xét mệnh đề R: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3”.

Mệnh đề R có dạng phát biểu như thế nào?

Phương pháp giải:

Thay thế các mệnh đề P và Q vào mệnh đề R.

Lời giải:

Thay : “số tự nhiên n chia hết cho 6” bới P, “số tự nhiên n chia hết cho 3” bởi  Q, ta được mệnh đề R có dạng: “Nếu P thì Q”

Giải Toán 10 trang 8 Tập 1

Luyện tập vận dụng 5 trang 8 Toán lớp 10: Hãy phát biểu một định lí toán học ở dạng mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$.

Phương pháp giải:

Mệnh đề kéo theo ($P\Rightarrow Q$) thường là các mệnh đề dạng: “Nếu P thì Q” hoặc cũng có thể là “P kéo theo Q”, “P suy ra Q”, “Vì P nên Q”.

Lời giải:

Chẳng hạn

1. Định lí Ta-lét “Nếu 1 đường thẳng song song với 1 cạnh của tam giác đó và cắt 2 cạnh còn lại thì nó định ra trên 2 cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ”

2. Định lí Ta-lét đảo “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.”

3. Định lí: “Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song”

V. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

Hoạt động 6 trang 8 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề dạng $P\Rightarrow Q$ như sau:

“Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$”.

Phát biểu mệnh đề $Q\Rightarrow P$ và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$.

Phương pháp giải:

Viết mệnh đề kéo theo $Q\Rightarrow P$, sử dụng một trong các dạng “Nếu Q thì P”, “Q kéo theo P”, “Q suy ra P”, “Vì Q nên P”.

Xét tính đúng sai của hai mệnh đề.

Lời giải:

P: “tam giác ABC vuông tại A”

Q: “tam giác ABC có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$”

+) Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là “Nếu tam giác ABC có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$thì tam giác ABC vuông tại A”

+) Từ định lí Pytago, ta có:

Tam giác ABC vuông tại A thì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

Và: Tam giác ABC có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ thì vuông tại A.

Do vậy, hai mệnh đề “$P\Rightarrow Q$” và “$Q\Rightarrow P$” đều đúng.

Luyện tập vận dụng 6 trang 8 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC đều”

Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”,

Hãy phát biểu hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó.

Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Phương pháp giải:

+) Mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ có dạng “Nếu P thì Q”, “P kéo theo Q”, “P suy ra Q”, “Vì P nên Q”.

+) Mệnh đề tương đương $P\iff Q$ có thể phát biểu ở những dạng sau:

“P tương đương Q”, “P là điều kiện cần và đủ để có Q”, “P khi và chỉ khi Q”, “P nếu và chỉ nếu”

Lời giải:

+) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là: “Vì tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”.

+) Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$ suy ra tam giác ABC đều”.

Dễ thấy cả hai mệnh đề trên đều đúng.

+) Mệnh đề tương đương: (dùng một trong các cách sau:)

“Tam giác ABC đều tương đương tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”

“Tam giác ABC đều là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”

“Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”

“Tam giác ABC đều nếu và chỉ nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”

VI. Kí hiệu ∀ và ∃

Giải Toán 10 trang 9 Tập 1

Hoạt động 7 trang 9 Toán lớp 10: Cho mệnh đề “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.

a) Phát biểu “Mọi số tự nhiên n đều chia hết cho 3” có phải là mệnh đề không?

b) Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n đều chia hết cho 3” có phải là mệnh đề không?

Phương pháp giải:

Mệnh đề là một phát biểu, một khẳng định (có thể đúng hoặc sai) về một sự kiện trong toán học.

Nếu không xác định được tính đúng sai của mệnh đề thì phát biểu đó không là mệnh đề.

Lời giải:

a) Phát biểu “Mọi số tự nhiên n đều chia hết cho 3” là một phát biểu sai (vì 2 là số tự nhiên nhưng 2 không chia hết cho 3). Đây là một mệnh đề.

b) Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n đều chia hết cho 3” là một phát biểu đúng (chẳng số 3 là số tự nhiên và 3 chia hết cho 3). Đây là một mệnh đề.

Giải Toán 10 trang 10 Tập 1

Hoạt động 8 trang 10 Toán lớp 10: Bạn An nói: “Mọi số thực đều có bình phương là một số không âm”

Bạn Bình phủ định lại câu nói của bạn An: :”Có một số thực mà bình phương của nó là một số âm”

a) Sử dụng kí hiệu “$\mathrm{\forall }$” để viết mệnh đề của bạn An.

b) Sử dụng kí hiệu “$\mathrm{\exists }$” để viết mệnh đề của bạn Bình.

Lời giải:

a) An: “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$“

b) Bình: “$\mathrm{\exists }x\in ,x^2<0$“

Giải Toán 10 trang 11 Tập 1

Luyện tập vận dụng 7 trang 11 Toán lớp 10: Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) Tồn tại số nguyên chia hết cho 3

b) Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số.

Phương pháp giải:

Thay “Tồn tại” thành “Mọi” hoặc ngược lại, đồng thời phủ định mệnh đề trong phát biểu.

Lời giải:

a) Phát biểu mệnh đề phủ định: “Mọi số nguyên đều không chia hết cho 3”

b) Phát biểu mệnh đề phủ định: “Tồn tại số thập phân không viết được dưới dạng phân số”

Bài tập

Bài 1 trang 11 Toán lớp 10: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?

a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.

b) Mọi số tự nhiên đều là dương.

c) Có sự sống ngoài Trái Đất

d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.

Phương pháp giải:

Mệnh đề toán học là một phát biểu, một khẳng định (có thể đúng hoặc sai) về một sự kiện trong toán học.

Lời giải:

a) Phát biểu “Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm” là một mệnh đề toán học.

b) Phát biểu “Mọi số tự nhiên đều là dương” là một mệnh đề toán học.

c) Phát biểu “Có sự sống ngoài Trái Đất” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).

d) Phát biểu “Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động” không là một mệnh đề toán học (vì không liên quan đến sự kiện Toán học nào).

Bài 2 trang 11 Toán lớp 10: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

a) A: “$\frac{5}{1,2}$ là một phân số”.

b) B: “Phương trình $x^2+3x+2=0$ có nghiệm”.

c) C: “$2^2+2^3=2^{2+3}$”.

d) D: “Số 2 025 chia hết cho 15”.

Phương pháp giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “Không phải P”. Kí hiệu: $\overline{P}$

+) Bằng cách: thêm (hoặc bớt) chữ “không”/ “không phải” (hoặc thay đổi vị ngữ) trong mệnh đề P.

Lời giải:

a) $\overline{A}$: “$\frac{5}{1,2}$ không là một phân số”.

Đúng vì $\frac{5}{1,2}$ không là phân số (do 1,2 không là số nguyên)

b) $\overline{B}$: “Phương trình $x^2+3x+2=0$ vô nghiệm”.

Sai vì phương trình $x^2+3x+2=0$ có hai nghiệm là $x=-1$ và $x=-2$.

c) $\overline{C}$: “$2^2+2^3\ne 2^{2+3}$”.

Đúng vì $2^2+2^3=12\ne 32=2^{2+3}$.

d) $\overline{D}$: “Số 2 025 không chia hết cho 15”.

Sai vì 2025 chia hết cho 15.

Bài 3 trang 11 Toán lớp 10: Cho n là số tự nhiên. Xét các mệnh đề:

P: “n là một số tự nhiên chia hết cho 16”.

Q: “n là một số tự nhiên chia hết cho 8”.

a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$. Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$. Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Phương pháp giải:

Mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ được phát biểu là: “Nếu P thì Q”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là mệnh đề $Q\Rightarrow P$, phát biểu là: “Nếu Q thì P”.

Lời giải:

a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$: “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 16 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 8”

Mệnh đề này đúng, vì n chia hết cho 16 thì n = 16.k ($k\in \mathbb{N}$) thì n = 8.(2k) chia hết cho 8.

b) Phát biểu mệnh đề $Q\Rightarrow P$: “Nếu n là một số tự nhiên chia hết cho 8 thì n là một số tự nhiên chia hết cho 16”

Mệnh đề này sai, chẳng hạn n = 8 là số tự nhiên chia hết cho 8 nhưng n không chia hết cho 16.

Chú ý: Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là: “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q” …

Bài 4 trang 11 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC cân”.

Q: “Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.

Phát biểu mệnh đề $P\iff Q$ bằng bốn cách.

Phương pháp giải:

4 dạng phát biểu của mệnh đề tương đương $P\iff Q$ là:

“P tương đương Q”

“P là điều kiện cần và đủ để có Q”

“P khi và chỉ khi Q”

“P nếu và chỉ nếu Q”

Lời giải:

4 cách phát biểu mệnh đề $P\iff Q$:

“Tam giác ABC cân tương đương tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”

“Tam giác ABC cân là điều kiện cần và đủ tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”

“Tam giác ABC cân khi và chỉ khi tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”

“Tam giác ABC cân nếu và chỉ nếu tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau.

Bài 5 trang 11 Toán lớp 10: Dùng kí hiệu “$\mathrm{\forall }$” hoặc “$\mathrm{\exists }$” để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.

Phương pháp giải:

a) Viết mệnh đề về dạng “$\mathrm{\exists }x\in X,P(x)$”.

Lời giải:

a) $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{Z},x\text{không chia hết}x.$

b) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x+0=x.$

Bài 6 trang 11 Toán lớp 10: Phát biểu các mệnh đề sau:

a) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$

b) $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},\frac{1}{x}>x.$

Lời giải:

a) Mọi số thực có bình phương không âm.

b) Có một số thực nhỏ hơn nghịch đảo của chính nó.

Bài 7 trang 11 Toán lớp 10: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2\ne 2x-2$

b) $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2\le 2x-1$

c) $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x+\frac{1}{x}\ge 2$

d) $\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2-x+1<0$

Phương pháp giải:

+) Phủ định của mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in X,P(x)$” là mệnh đề “$\mathrm{\exists }x\in X,\overline{P(x)}$”

+) Phủ định của mệnh đề “$\mathrm{\exists }x\in X,P(x)$” là mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in X,\overline{P(x)}$”.

Lời giải:

a) Phủ định của mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2\ne 2x-2$” là mệnh đề “$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2=2x-2$”

Mệnh đề “$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2=2x-2$” sai vì $x^2\ne 2x-2$với mọi số thực x ( vì $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1>0$ hay $x^2>2x-2$).

b) Phủ định của mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2\le 2x-1$” là mệnh đề “$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2\le 2x-1$”

Mệnh đề “$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2\le 2x-1$” đúng vì có $x=1\in \mathbb{R}:1^2\le 2.1-1$ hay $1\le 1$ (luôn đúng).

c) Phủ định của mệnh đề “$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x+\frac{1}{x}\ge 2$” là mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x+\frac{1}{x}<2$”.

Mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x+\frac{1}{x}<2$” sai vì $x=2\in \mathbb{R}$ nhưng $x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}>2$.

d) Phủ định của mệnh đề “$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2-x+1<0$” là mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2-x+1\ge 0$”.

Mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2-x+1\ge 0$” đúng vì $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge 0$ với mọi số thực x.

Bài giảng Toán 10 Bài 1: Mệnh đề toán học – Cánh diều

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn