Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Elip | Chân trời sáng tạo

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Elip

1. Tính đối xứng của elip

Khám phá 1 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(0<b<a)$ và cho điểm M(x₀; y₀) nằm trên (E).

Các điểm M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) có thuộc (E) hay không?

Lời giải:

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc (E) thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{(–y_0)}^2}{b^2}=\frac{{(–x_0)}^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{(–x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(–y_0)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$ nên các điểm có toạ độ M₁(x₀; –y₀), M₂(–x₀; y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (E).

Thực hành 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có: elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6 $\Rightarrow$ 2a = 8 và 2b = 6 $\Rightarrow$ a = 4, b = 3 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2–b^2}=\sqrt{4^2–3^2}=\sqrt{7}.$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–$\sqrt{7}$; 0), F₂($\sqrt{7}$; 0).

Tiêu cự của elip là 2c = 2$\sqrt{7}$.

Độ dài trục lớn là 2a = 8, độ dài trục bé là 2b = 6.

Vận dụng 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Hãy gấp một mảnh giấy có hình clip (Hình 5) thành bốn phần chồng khít lên nhau.

Lời giải:

Đầu tiên gấp tờ giấy sao cho hai đỉnh đối diện của elip trùng nhau.

Khi đó đường gấp sẽ đi qua hai đỉnh còn lại của elip, gấp tiếp tờ giấy sao cho hai đỉnh còn lại này trùng nhau. Khi đó ta đã gấp elip thành 4 phần chồng khít lên nhau.

2. Bán kính qua tiêu

Khám phá 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có hai tiêu điểm là F₁(–c; 0), F₂(c; 0) (Hình 6)

a) Tính F₁M² và F₂M² theo x, y, c.

b) Chứng tỏ rằng: F₁M² – F₂M² = 4cx, F₁M – F₂M = $2\frac{cx}{a}$

c) Tính độ dài hai đoạn MF₁ và MF₂ theo a, c, x.

Lời giải:

a) F₁M² = [x – (– c)]² + (y – 0)² = (x + c)² + y² = x² + 2cx + c² + y²;

F₂M² = (x – c)² + (y – 0)² = x² – 2cx + c² + y².

b) F₁M² – F₂M² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

F₁M² – F₂M² = 4cx $\Rightarrow$ (F₁M + F₂M)(F₁M – F₂M) = 4cx $\Rightarrow$ 2a(F₁M – F₂M) = 4cx

$\Rightarrow$ F₁M – F₂M = $\frac{4cx}{2a}$ = $2\frac{cx}{a}$.

c)

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1}M–F_{2}M=\frac{2c}{a}x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) + (F₁M – F₂M) = 2a + $\frac{2c}{a}x$ $\Rightarrow$ 2F₁M = 2a + $\frac{2c}{a}x$$\Rightarrow$ MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x.

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1}M–F_{2}M=\frac{2c}{a}x$ ta suy ra:

(F₁M + F₂M) – (F₁M – F₂M) = 2a – $\frac{2c}{a}x$ $\Rightarrow$ 2F₂M = 2a – $\frac{2c}{a}x$ $\Rightarrow$ MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x.

Thực hành 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$

b) Tìm các điểm trên elip $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.

Lời giải:

a) Có a² = 64, b² = 36 $\Rightarrow$a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2–b^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của M(x; y) là:

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x = 8 +$\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x$; MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x = 8 – $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$ = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x.$

b) Giả sử M(x; y) nằm trên (E) thoả mãn đề bài. Khi đó:

MF₁ = MF₂ $\iff$ 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x$ = 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x$ $\iff$ x = 0 $\iff [\begin{array}{c}y=6\\ y=–6\end{array}.$

Vậy có hai điểm thoả mãn đề bài là M₁(0; 6) và M₂(0; –6).

Vận dụng 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).

Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cắt hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

Lời giải:

Vì âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu nên quãng đường âm thanh đã đi là MF₁ + MF₂.

Mà MF₁ + MF₂ = (a + $\frac{c}{a}$x) + (a – $\frac{c}{a}$x) = 2a nên quãng đường âm thanh đi luôn không đổi dù đến các điểm khác nhau trên elip, vận tốc âm thanh cũng không đổi nên thời gian âm thanh đã đi cũng không đổi. Do đó âm thanh khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

3. Tâm sai

Khám phá 3 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Cho biết ti số $e=\frac{c}{a}$ của các elip lần lượt là $\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$(Hình 8)

Tính tỉ số $\frac{b}{a}$  theo e và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi e thay đổi.

Lời giải:

Ta có $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{a^2–c^2}}{a}=\sqrt{1–e^2}$. Nhận xét:

– Khi tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và elip trông càng “béo”.

– Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì tỉ số $\frac{b}{a}$ càng gần 0 và elip trông càng “dẹt”.

Thực hành 3 trang 45 Chuyên đề Toán 10: a) Tìm tâm sai của elip (E): $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{99}=1$và elip $\left(E^{‘}\right):\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{1}=1$

b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng “dẹt” hơn?

Lời giải:

Có $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2–b^2}}{a}=\sqrt{\frac{a^2–b^2}{a^2}}.$

a) Tâm sai của (E) là e = $\sqrt{\frac{100–99}{100}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}=0,1;$

tâm sai của (E’) là e’ = $\sqrt{\frac{10–1}{10}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\approx 0,95.$

b) Vì (E’) có tâm sai lớn hơn tâm sai của (E) nên (E’) có hình dạng “dẹt” hơn.

Vận dụng 3 trang 46 Chuyên đề Toán 10: Trong hệ Mặt Trời, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo là đường elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Từ hình ảnh mô phỏng quỹ đạo chuyển động của các hành tinh (Hình 9), hãy so sánh tâm sai của quỹ đạo chuyển động của Trái Đất với tâm sai của quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.

(Nguồn: https://www.nasa.gov)

Lời giải:

Nhìn hình ta thấy quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b “dẹt” hơn so với quỹ đạo chuyển động của Trái Đất, do đó tâm sai của quỹ đạo chuyển động của Trái Đất nhỏ hơn tâm sai của quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.

4. Đường chuẩn

Khám phá 4 trang 46 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ và hai đường thẳng ${∆}_1=x+\frac{a}{e}=0$; ${∆}_2=x–\frac{a}{e}=0$ (Hình 10). Gọi d(M; Δ₁), d(M; Δ₂) lần lượt là khoảng cách từ M đến Δ₁, Δ₂. Ta có $(M;{\mathrm{\Delta }}_1)=|x+\frac{a}{e}|=\frac{|a+ex|}{e}=\frac{a+ex}{e}$ (vì e > 0 và $a+ex=M{F}_1>0$). Suy ra $\frac{M{F}_1}{d(M;{\mathrm{\Delta }}_1)}=\frac{a+ex}{\frac{a+ex}{e}}=e$

Dựa theo cách tính trên, hãy tính $\frac{M{F}_2}{d(M;{\mathrm{\Delta }}_2)}$.

Lời giải:

Có a – ex = MF₂ > 0 nên a – ex > 0.

$d(M;{\mathrm{\Delta }}_2)=|x–\frac{a}{e}|=\frac{|ex–a|}{e}=\frac{a–ex}{e}$ (vì a – ex > 0).

$\Rightarrow \frac{M{F}_2}{d(M;{\mathrm{\Delta }}_1)}=\frac{a–ex}{\frac{a–ex}{e}}=e.$

Thực hành 4 trang 47 Chuyên đề Toán 10: Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:

a) $\left(E_1\right):\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$;

b) $\left(E_2\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$.

Lời giải:

a) Có a² = 4, b² = 1 $\Rightarrow$ a = 2, b = 1 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2–b^2}=\sqrt{4–1}=\sqrt{3}.$

Toạ độ hai tiêu điểm của elip là $F_1(–\sqrt{3};0)$ và $F_2(\sqrt{3};0).$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

Δ₁: $x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{4}{\sqrt{3}}=0;$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

Δ₂: $x–\frac{a}{e}=0\iff x–\frac{a^2}{c}=0\iff x–\frac{4}{\sqrt{3}}=0.$

Vận dụng 4 trang 47 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{50}{3}$

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6, suy ra c = 3.

– Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{50}{3}$, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{50}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{3}=\frac{25}{3}\Rightarrow a^2=25\Rightarrow b^2=a^2–c^2=25–9=16.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Bài tập (trang 47, 48)

Bài 1 trang 47 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$

a) Tìm tâm sai, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở của (E) và vẽ (E).

b) Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) trên (E).

c) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E).

Lời giải:

a) Có a² = 64, b² = 36 $\Rightarrow$ a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2–b^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$

Tâm sai của (E) là $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$

Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a = 16, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 2b = 12.

Vẽ (E):

b) hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) là MF₁ = a + $\frac{c}{a}x$ = 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$ = 8,

MF₂ = a – $\frac{c}{a}x$ = 8 ­– $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$ = 8.

Bài 2 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Tìm các điểm trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất

Lời giải:

Xét điểm M có toạ độ là (x; y).

+) Xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

 $\Rightarrow \frac{c}{a}.(–a)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow –c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow a–c\le a+\frac{c}{a}x\le a+c.$

Vậy a – c ≤ MF₁ ≤ a + c.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là –a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng a.

+) Xét khoảng cách từ M đến F₂.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

 $\Rightarrow \frac{c}{a}.(–a)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow –c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow c\ge –\frac{c}{a}x\ge –c\Rightarrow a+c\ge a+\frac{c}{a}x\ge a–c.$

Vậy a + c ≥ MF₂ ≥ a – c.

Vậy độ dài MF₂ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng –a.

Bài 3 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 12 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{169}{6}$

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6.

– Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{169}{6}$, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{169}{6}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{169}{12}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{169}{12}\Rightarrow \frac{a^2}{6}=\frac{169}{12}\Rightarrow a^2=84,5\Rightarrow b^2=a^2–c^2=84,5–36=48,5.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{84,5}+\frac{y^2}{48,5}=1.$

Bài 4 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) trên (E).

b) Tìm điểm N trên (E) sao cho NF₁ = NF₂.

c) Tìm điểm S trên (E) sao cho SF₁ = 2SF₂.

Lời giải:

a) Có a² = 9, b² = 1 $\Rightarrow$ a = 3, b = 1 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2–b^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Tâm sai của (E) là $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) là MF₁ = a + $\frac{c}{a}x$ = 3 + $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 + $2\sqrt{2}$, MF₂ = a – $\frac{c}{a}x$= 3 – $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 – $2\sqrt{2}$

b) Gọi toạ độ của N là (x; y). Khi đó NF₁ = a + $\frac{c}{a}$x, NF₂ = a – $\frac{c}{a}x$.

NF₁ = NF₂ $\iff$a + $\frac{c}{a}x$ = a – $\frac{c}{a}x$ $\iff$ x = 0 $\iff [\begin{array}{c}y=1\\ y=–1\end{array}.$

Vậy có hai điểm N thoả mãn là N₁(0; 1) và N₂(0; –1).

c) Gọi toạ độ của S là (x; y). Khi đó SF₁ = a + $\frac{c}{a}x$, SF₂ = a – $\frac{c}{a}x$.

SF₁ = 2SF₂ $\iff$ a + $\frac{c}{a}x$ = 2 $(a–\frac{c}{a}x)$$\iff 3\frac{c}{a}x=a\iff x=\frac{a^2}{3c}=\frac{9}{3.2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$

$\iff [\begin{array}{c}y=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ y=–\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}.$

Vậy có hai điểm S thoả mãn là $S_1(\frac{3\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{3}}{2})$ và $S_2(\frac{3\sqrt{2}}{4};–\frac{\sqrt{3}}{2}).$

Bài 5 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Trái Đất chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai là 0,0167 và nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách gần nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là khoảng 147 triệu km, tính khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời.

(Nguồn: https://www.universetoday.com)

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là triệu kilômét.

Khi đó phương trình của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Gọi toạ độ của Trái Đất là M(x; y) thì khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trời là MF₁ = a – ex ≥ a – ea (vì x ≤ a). Do đó khoảng cách gần nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trơ là a – ea, suy ra a – ea = 147 $\Rightarrow$a = $\frac{147}{1–e}.$

Mặt khác vì x ≥ –a nên a – ex ≤ a + ea nên khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là a + ea = a(1 + e) = $\frac{147}{1–e}(1+e)\approx$152 (triệu km).

Vậy khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và tâm Mặt Trời là 152 triệu km.

Bài 6 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I. Vệ tinh đó có quỹ đạo hình elip (E) nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 7310 km và khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 6586 km. Tìm tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I.

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F₁ của elip (E) và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là kilômét.

Khi đó phương trình của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Gọi toạ độ của Trái Đất là M(x; y) thì khoảng cách giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là MF₁ = a – ex.

Vì –a ≤ x ≤ a nên a – ea ≤ a –ex ≤ a + ea.

Do đó khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là a – ea và khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là a + ea $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a–ea=6586\\ a+ea=7310\end{array}\right.$

Cộng theo vế 2 phương trình này ta được 2a = 113896, suy ra a = 6948.

Thay vào phương trình thứ nhất ta được 6948 – 6948e = 6586 $\Rightarrow$ e ≈ 0,052.

Vậy tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I là 0,052.