Giải SGK Toán 8 Bài 24 (Kết nối tri thức): Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Mở đầu trang 20 Toán 8 Tập 2: Vuông: $\frac{2x}{x+1}\cdot \frac{x-1}{x}=?$

Pi: Nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau nhé!

Tròn: Thế cách nhân hai phân thức cũng giống như cách nhân hai phân số nhỉ?

Lời giải:

Sau bài học này ta biết được, cách nhân hai phân thức cũng giống như cách nhân hai phân số, ta nhân các tử thức với nhau, nhân các mẫu thức với nhau.

Ta có: $\frac{2x}{x+1}\cdot \frac{x-1}{x}=\frac{2x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)x}=\frac{2\left(x-1\right)}{x+1}=\frac{2x-2}{x+1}$ .

1. Nhân hai phân thức

HĐ1 trang 20 Toán 8 Tập 2: Làm theo hướng dẫn của anh Pi trong tình huống mở đầu để nhân hai phân thức $\frac{2x}{x+1}$  và $\frac{x-1}{x}$ .

Lời giải:

Ta có: $\frac{2x}{x+1}$ . $\frac{x-1}{x}$$=\frac{2x(x-1)}{x(x+1)}=\frac{2\left(x-1\right)}{x+1}=\frac{2x-2}{x+1}$ .

Luyện tập 1 trang 20 Toán 8 Tập 2: Làm tính nhân:

a) $\frac{x}{x+y}.\frac{2x+2y}{3xy}$ ;                             

b) $\frac{3x}{4x^2-1}.\frac{-2x+1}{2x^2}$ .

Lời giải:

a) $\frac{x}{x+y}.\frac{2x+2y}{3xy}$ $=\frac{x(2x+2y)}{3xy(x+y)}=\frac{x.2\left(x+y\right)}{3xy(x+y)}=\frac{2}{3y}$ .

b) $\frac{3x}{4x^2-1}.\frac{-2x+1}{2x^2}$ $=\frac{3x(-2x+1)}{2x^2(4x^2-1)}$

$=\frac{-3x\left(2x-1\right)}{2x^2\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}=\frac{-3}{2x\left(2x+1\right)}$.

2. Chia hai phân thức

Luyện tập 2 trang 21 Toán 8 Tập 2: Làm tính chia: $\frac{3x}{2y^2}:\left(-\frac{5x^2}{12y^3}\right)$ .

Lời giải:

$\frac{3x}{2y^2}:\left(-\frac{5x^2}{12y^3}\right)=\frac{3x}{2y^2}.\frac{-12y^3}{5x^2}=\frac{-36x{y}^3}{10x^2{y}^2}=\frac{-18y}{5x}$.

Thử thách nhỏ trang 21 Toán 8 Tập 2: Kết luận sau đúng hay sai?

$\left(\frac{1}{x}:\frac{1}{x}\right):\frac{1}{x}=\frac{1}{x}:\left(\frac{1}{x}:\frac{1}{x}\right)$.

Lời giải:

Vế trái: $\left(\frac{1}{x}:\frac{1}{x}\right):\frac{1}{x}=1:\frac{1}{x}=1.x=x$ .

Vế phải: $\frac{1}{x}:\left(\frac{1}{x}:\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}:1=\frac{1}{x}$ .

Vậy kết luận trên là sai.

Vận dụng trang 22 Toán 8 Tập 2: Bác Châu vay ngân hàng 1,2 tỉ đồng để mua nhà theo hình thức trả góp. Số tiền bác Châu phải trả mỗi tháng bao gồm số tiền gốc phải trả hàng tháng (bằng số tiền gốc chia đều cho số tháng vay) và số tiền lãi phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc nhân với lãi suất tháng).

a) Gọi r là lãi suất năm (r viết dưới dạng số thập phân) của khoản vay trả góp này. Tính số tiền x (triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi tháng theo số tháng vay y (tháng) và lãi suất năm r. Từ đó suy ra công thức tính lãi suất năm r theo x và y.

b) Tính giá trị của r tại x = 30, y = 48 rồi cho biết, nếu trả góp mỗi tháng 30 triệu đồng trong vòng 4 năm thì lãi suất năm (tính theo %) của khoản vay này là bao nhiêu?

Lời giải:

Đổi 1,2 tỉ đồng = 1200 triệu đồng.

a) Lãi suất tháng là $\frac{r}{12}$  (vì 1 năm có 12 tháng), do đó số tiền x phải trả hàng tháng là:

$x=\frac{1200}{y}+1200.\frac{r}{12}=\frac{1200}{y}+100r$ (triệu đồng).

Từ đó suy ra $r=\frac{xy-1200}{100y}$ .

b) Nếu x = 30, y = 48 thì:

$r=\frac{30.48-1200}{100.48}=\mathrm{0,05}=5\%$.

Do đó, nếu trả góp 30 triệu đồng một tháng trong 4 năm (48 tháng) thì lãi suất năm của khoản vay này là 5%.

Bài tập

Bài 6.26 trang 22 Toán 8 Tập 2: Làm tính nhân phân thức:

a) $\left(-\frac{3x}{5x{y}^2}\right).\left(-\frac{5y^2}{12xy}\right)$ ;                      

b) $\frac{x^2-x}{2x+1}.\frac{4x^2-1}{x^3-1}$ .

Lời giải:

a) $\left(-\frac{3x}{5x{y}^2}\right).\left(-\frac{5y^2}{12xy}\right)=\frac{-3x.(-5y^2)}{5x{y}^2.12xy}=\frac{15x{y}^2}{60x^2{y}^3}=\frac{1}{4xy}$ .

b) $\frac{x^2-x}{2x+1}.\frac{4x^2-1}{x^3-1}=\frac{(x^2-x)(4x^2-1)}{(2x+1)(x^3-1)}$

$=\frac{x(x-1)(2x+1)(2x-1)}{(2x+1)(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x(2x-1)}{x^2+x+1}$.

Bài 6.27 trang 22 Toán 8 Tập 2: Làm tính chia phân thức:

a) $\left(-\frac{3x}{5x{y}^2}\right):\left(-\frac{5y^2}{12xy}\right)$ ;                     

b) $\frac{4x^2-1}{8x^3-1}:\frac{4x^2+4x+1}{4x^2+2x+1}$ .

Lời giải:

a) $\left(-\frac{3x}{5x{y}^2}\right):\left(-\frac{5y^2}{12xy}\right)$$=\left(-\frac{3}{5y^2}\right):\left(-\frac{5y}{12x}\right)$

$=\left(-\frac{3}{5y^2}\right).\left(-\frac{12x}{5y}\right)$$=\frac{3.12x}{5y^2.5y}=\frac{36x}{25y^3}$.

b) $\frac{4x^2-1}{8x^3-1}:\frac{4x^2+4x+1}{4x^2+2x+1}$

$=\frac{(2x+1)(2x-1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}.\frac{4x^2+2x+1}{{(2x+1)}^2}=\frac{1}{2x+1}$.

Bài 6.28 trang 22 Toán 8 Tập 2: Tìm hai phân thức P và Q thỏa mãn:

a) $P.\frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^2+x}{4x^2-1}$ ;                        

b) $Q:\frac{x^2}{x^2+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^2-2x}$ .

Lời giải:

a) Từ giả thiết $P.\frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^2+x}{4x^2-1}$  suy ra:

$P=\frac{x^2+x}{4x^2-1}:\frac{x+1}{2x+1}=\frac{x(x+1)}{(2x+1)(2x-1)}.\frac{2x+1}{x+1}=\frac{x}{2x-1}$.

b) Từ giả thiết $Q:\frac{x^2}{x^2+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^2-2x}$  suy ra:

$Q=\frac{(x+1)(x+2)}{x^2-2x}.\frac{x^2}{x^2+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{x(x-2)}.\frac{x^2}{{(x+2)}^2}$$=\frac{x(x+1)}{(x+2)(x-2)}$.

Bài 6.29 trang 22 Toán 8 Tập 2: Cho hai phân thức $P=\frac{x^2+6x+9}{x^2+3x}$  và $Q=\frac{x^2+3x}{x^2-9}$ .

a) Rút gọn P và Q.

b) Sử dụng kết quả của câu a, tính P.Q và P : Q.

Lời giải:

a) $P=\frac{x^2+6x+9}{x^2+3x}=\frac{{(x+3)}^2}{x(x+3)}=\frac{x+3}{x}$ ;

$Q=\frac{x^2+3x}{x^2-9}$ = $\frac{x(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{x}{x-3}$.

b) P.Q = $\frac{x+3}{x}.\frac{x}{x-3}=\frac{x+3}{x-3}$ ;

P : Q = $\frac{x+3}{x}:\frac{x}{x-3}=\frac{x+3}{x}.\frac{x-3}{x}=\frac{x^2-9}{x^2}$ .

Bài 6.30 trang 22 Toán 8 Tập 2: Trở lại tình huống trong Vận dụng.

a) Nếu mỗi tháng bác Châu trả 15 triệu đồng trong 10 năm thì lãi suất năm (tính theo %) là bao nhiêu? Hãy cho biết tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch bao nhiêu so với khoản vay 1,2 tỉ đồng.

b) Trong công thức tính lãi suất năm nói trên, hai lần biến x, y phải thỏa mãn các điều kiện x > 0, y > 0, xy > 1200. Em hãy giải thích ý nghĩa thực tiễn của các điều kiện này.

Lời giải:

a) Nếu trả mỗi tháng 15 triệu đồng trong 10 năm (= 120 tháng) thì lãi suất năm của khoản vay là giá trị của $r=\frac{xy-1200}{100y}$  tại x = 15, y = 120, cụ thể là:

$r=\frac{15.120-1200}{100.120}=\mathrm{0,05}=5\%$.

Thực tế, tổng số tiền người vay trả sau 10 năm là: 15.120 = 1800 triệu đồng = 1,8 tỉ đồng, chênh (cao hơn) so với khoản vay 1,2 tỉ đồng là 0,6 tỉ đồng = 600 triệu đồng.

b) Vì x là số tiền trả mỗi tháng, y là số tháng trả góp nên x, y phải là số dương. Ngoài ra, xy là số tiền người vay trả sau y tháng nên nếu xy ≤ 1200 thì số tiền trả chưa đủ hoàn hết số tiền vay 1,2 tỉ đồng, người cho vay không có lãi hoặc lỗ. Vì vậy trong công thức tính lãi suất năm $r=\frac{xy-1200}{100y}$  hai biến x, y phải thỏa mãn các điều kiện; x > 0, y > 0, xy > 1200.