20 câu Trắc nghiệm Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Câu 1. Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi của 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột như sau:

21	17	22	18	20	17	15	13	15	20	15	12	18	17	25
17	21	15	12	18	16	23	14	18	19	13	16	19	18	17

Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu trên là:

A. 11;

B. 9;

C. 13;

D. 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Quan sát bảng số liệu, ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là 25 và 12.

Do đó ta có khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 25 – 12 = 13.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 2. Số học sinh giỏi của 30 lớp ở một trường Trung học phổ thông được ghi lại trong bảng sau:

0	2	1	0	0	3	0	0	1	1	0	1	6	6	0
1	5	2	4	5	1	0	1	2	4	0	3	3	1	0

Tìm khoảng tứ phân vị ∆_Q của mẫu số liệu trên.

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

– Vì cỡ mẫu n = 30 = 2.15 là số chẵn.

Do đó giá trị tứ phân vị thứ hai bằng trung bình cộng của số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16.

Ta có bảng tần số sau:

Số học sinh giỏi	0	1	2	3	4	5	6
Tần số	10	8	3	3	2	2	2	n = 30

Theo bảng tần số trên thì số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16 cùng bằng 1.

Do đó ta có Q₂ = 1.

– Ta tìm tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái Q₂.

Ta có cỡ mẫu lúc này n = 15 = 2.7 + 1 là số lẻ.

Nên giá trị tứ phân vị thứ nhất là số liệu thứ 8.

Do đó Q₁ = 0.

– Ta tìm tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải Q₂.

Ta có cỡ mẫu lúc này n = 15 = 2.7 + 1.

Nên giá trị tứ phân vị thứ ba là số liệu thứ 8 tính từ số liệu thứ 16 trở đi. Tức là giá trị tứ phân vị thứ ba là số liệu thứ 23 của mẫu dữ liệu ban đầu.

Do đó Q₃ = 3.

Ta suy ra khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 3 – 0 = 3.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 3. Số điện năng tiêu thụ của 10 hộ ở một khu dân cư trong một tháng như sau:

165

85

65

65

70

50

45

100

45

100

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên bằng:

A. 48;

B. 50;

C. 52;

D. 54.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

45; 45; 50; 65; 65; 70; 85; 100; 100; 165

Vì cỡ mẫu n = 10 là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và số liệu thứ 6.

Do đó Q₂ = (65 + 70) : 2 = 67,5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 45; 45; 50; 65; 65.

Do đó Q₁ = 50.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 70; 85; 100; 100; 165.

Do đó Q₃ = 100.

Ta suy ra khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 100 – 50 = 50.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 4. Nhiệt độ của 24 tỉnh thành ở Việt Nam (đơn vị: °C) vào một ngày của tháng 7 được cho trong bảng sau đây:

36	30	31	32	31	40	37	29	41	37	35	34
34	35	32	33	35	33	33	31	34	34	32	35

Khoảng biến thiên R của bảng số liệu trên là:

A. R = 11;

B. R = 12;

C. R = 13;

D. R = 14.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Quan sát bảng số liệu, ta thấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là 41 và 29.

Do đó ta có khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 41 – 29 = 12.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 5. Số tiền nước phải nộp (đơn vị: nghìn đồng) của 5 hộ gia đình là: 56; 45; 103; 239; 125. Độ lệch chuẩn gần bằng:

A. 69,22;

B. 69,25;

C. 69,27;

D. 69,29.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số tiền nước trung bình là: $\overline{x}=\frac{56+45+103+239+125}{5}=\frac{568}{5}=\mathrm{113,6}$.

Phương sai là: $S^2=\frac{1}{n}\left({\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{\dots }+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right)$

$=\frac{1}{5}\left({\left(56-\frac{568}{5}\right)}^2+{\left(45-\frac{568}{5}\right)}^2+{\left(103-\frac{568}{5}\right)}^2+{\left(239-\frac{568}{5}\right)}^2+{\left(125-\frac{568}{5}\right)}^2\right)$

$=\frac{2395673}{500}=\mathrm{4791,346}$

Độ lệch chuẩn là: S =$\sqrt{S^2}=\sqrt{\mathrm{4791,346}}\approx \mathrm{69,22}$.

Câu 6. Độ lệch chuẩn là gì?

A. Độ lệch chuẩn là bình phương của phương sai;

B. Độ lệch chuẩn là một nửa của phương sai;

C. Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai;

D. Độ lệch chuẩn là căn bậc ba của phương sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là S.

Câu 7. Phát biểu nào sau đây sai?

A. Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu;

B. Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q₁ đến Q₃ trong mẫu;

C. Khoảng tứ phân vị bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu;

D. Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị trong mẫu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đáp án A, B, D đúng.

Đáp án C sai. Sửa lại: Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

Câu 8. Cho một mẫu dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤ … ≤ x_n. Khi đó khoảng biến thiên R của mẫu số liệu bằng:

A. R = x_n – x₁;

B. R = x₁ – x_n;

C. R = $\frac{x_n-x_1}{2}$;

D. R = $\frac{x_1-x_n}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R = x_n – x₁.

Do đó ta chọn đáp án A.

Câu 9. Nếu đơn vị của số liệu là kg thì đơn vị của phương sai là:

A. kg;

B. kg²;

C. kg³;

D. Không có đơn vị.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂,…, x_n.

Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:

$S^2=\frac{1}{n}\left({\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{\dots }+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right)$,

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

Do đó đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của mẫu số liệu.

Vậy nếu mẫu số liệu có đơn vị là kg thì phương sai có đơn vị là kg².

Do đó ta chọn đáp án B.

Câu 10. Cho dãy số liệu thống kê sau: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên lần lượt là:

A. $2\sqrt{15}$ và 60;

B. 60 và $2\sqrt{15}$;

C. $\frac{2\sqrt{15}}{3}$ và $\frac{20}{3}$;

D. $\frac{20}{3}$ và $\frac{2\sqrt{15}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số trung bình của mẫu số liệu trên là: $\overline{x}=\frac{1}{9}\left(1+2+3+4+5+6+7+8+9\right)=5$.

Phương sai là: $S^2=\frac{1}{n}\left({\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{\dots }+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right)$

$S^2=\frac{1}{9}\left({\left(1-5\right)}^2+{\left(2-5\right)}^2+{\left(3-5\right)}^2+{\left(4-5\right)}^2+\mathrm{\dots }+{\left(8-5\right)}^2+{\left(9-5\right)}^2\right)$

$S^2=\frac{20}{3}$

Độ lệch chuẩn là: S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{20}{3}}=\frac{2\sqrt{15}}{3}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 11. Xác định khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu sau: 50; 20; 10; 5; 3; 16; 8; 7; 20; 5; 10.

A. R = 47, ∆_Q = 15;

B. R = 15, ∆_Q = 47;

C. R = 45, ∆_Q = 10;

D. R = 47, ∆_Q = 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm, ta được:

3; 5; 5; 7; 8; 10; 10; 16; 20; 20; 50

Khoảng biến thiên là: R = 50 – 3 = 47.

Vì cỡ mẫu n = 11 = 2.5 + 1 là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là số liệu thứ 6.

Do đó Q₂ = 10.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 5; 5; 7; 8.

Do đó Q₁ = 5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 16; 20; 20; 50.

Do đó Q₃ = 20.

Khoảng tứ phân vị là: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 20 – 5 = 15.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 12. Hai lớp 10A và 10B của một trường Trung học phổ thông cùng làm bài thi môn Toán, chung một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở hai bảng tần số sau đây:

Lớp 10A:

Điểm	3	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	7	9	3	3	7	12	4	n = 45

Lớp 10B:

Điểm	4	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	6	6	7	8	9	5	4	n = 45

Lớp nào có kết quả thi đồng đều hơn?

A. Lớp 10A;

B. Lớp 10B;

C. Cả hai lớp có kết quả thi đồng đều như nhau;

D. Chưa đủ cơ sở để kết luận.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để xét xem kết quả thi của lớp nào đồng đều hơn thì ta đi so sánh phương sai của điểm thi hai lớp.

– Điểm thi trung bình lớp 10A là:

${\overline{x}}_{10A}=\frac{3.7+5.9+6.3+7.3+8.7+9.12+10.4}{45}=\frac{103}{15}\approx \mathrm{6,87}$

Điểm thi trung bình lớp 10B là:

${\overline{x}}_{10B}=\frac{4.6+5.6+6.7+7.8+8.9+9.5+10.4}{45}=\frac{103}{15}\approx \mathrm{6,87}$

– Phương sai mẫu số liệu của lớp 10A là:

$S_{10A}^2=\frac{1}{45}\left({7.3}^2+{9.5}^2+{3.6}^2+{3.7}^2+{7.8}^2+{12.9}^2+{4.10}^2\right)-{\overline{x}}_{10A}^2$

$=\frac{2363}{45}-{\left(\frac{103}{15}\right)}^2=\frac{134}{25}=\mathrm{5,36}$

Phương sai mẫu số liệu của lớp 10B là:

$S_{10B}^2=\frac{1}{45}\left({6.4}^2+{6.5}^2+{7.6}^2+{8.7}^2+{9.8}^2+{5.9}^2+{4.10}^2\right)-{\overline{x}}_{10B}^2$

$=\frac{757}{15}-{\left(\frac{103}{15}\right)}^2=\frac{746}{225}\approx \mathrm{3,32}$

Vì 3,32 < 5,36 nên lớp 10B có kết quả thi đồng đều hơn lớp 10A.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 13. Số cuộn phim mà 20 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư sử dụng trong một tháng được cho trong bảng sau:

0	5	7	6	2	5	9	7	6	9
20	6	10	7	5	8	9	7	8	5

Giá trị ngoại lệ trong mẫu số liệu trên là:

A. 0; 2 và 20;

B. 0 và 20;

C. 20;

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có bảng tần số sau:

Số cuộn phim	0	2	5	6	7	8	9	10	20
Số nhiếp ảnh gia	1	1	4	3	4	2	3	1	1	n = 20

– Vì cỡ mẫu n = 20 = 2.10 là số chẵn. Nên giá trị tứ phân vị thứ hai bằng trung bình cộng của số liệu thứ 10 và số liệu thứ 11.

Khi sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm, ta được số liệu thứ 10 và số liệu thứ 11 cùng bằng 7.

Do đó Q₂ = 7.

– Ta tìm tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái Q₂.

Vì cỡ mẫu lúc này n = 10 = 2.5 là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và số liệu thứ 6.

Khi sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được số liệu thứ 5 và số liệu thứ 6 cùng bằng 5.

Do đó Q₁ = 5.

– Ta tìm tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải Q₂.

Vì cỡ mẫu lúc này n = 10 = 2.5 là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của số liệu thứ 5 và số liệu thứ 6 (tính từ số liệu thứ 11 trở đi). Tức là giá trị tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16.

Khi sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được số liệu thứ 15 và số liệu thứ 16 lần lượt là 8 và 9.

Do đó Q₃ = (8 + 9) : 2 = 8,5.

Ta suy ra khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 8,5 – 5 = 3,5.

Ta có Q₃ + 1,5.∆_Q = 13,75 và Q₁ – 1,5.∆_Q = – 0,25.

Số liệu x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5.∆_Q (1) hoặc x < Q₁ – 1,5.∆_Q (2)

Quan sát bảng số liệu ta thấy có số liệu x = 20 thoả mãn điều kiện (1) : 20 > 13,75.

Vậy mẫu số liệu có giá trị ngoại lệ là 20.

Câu 14. Điểm trung bình một số môn học của hai bạn An và Bình trong năm học vừa qua được cho trong bảng sau:

Môn	Điểm của An	Điểm của Bình
Toán Vật Lý Hóa học Sinh học Ngữ Văn Lịch sử Địa lý Giáo dục thể chất	8,0 7,5 7,8 8,3 7,0 8,0 8,2 9,0	8,5 9,5 9,5 8,5 5,0 5,5 6,0 9,0

Hỏi ai “học lệch” hơn?

A. An;

B. Bình;

C. Mức độ học lệch của hai bạn là như nhau;

D. Chưa đủ cơ sở kết luận.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điểm trung bình của An là:

$\overline{x}=\frac{\mathrm{8,0}+\mathrm{7,5}+\mathrm{7,8}+\mathrm{8,3}+\mathrm{7,0}+\mathrm{8,0}+\mathrm{8,2}+\mathrm{9,0}}{8}=\mathrm{7,975}$.

Điểm trung bình của Bình là:

$\overline{x}=\frac{\mathrm{8,5}+\mathrm{9,5}+\mathrm{9,5}+\mathrm{8,5}+\mathrm{5,0}+\mathrm{5,5}+\mathrm{6,0}+\mathrm{9,0}}{8}=\mathrm{7,6875}$.

Phương sai mẫu số liệu của An là:

$S^2=\frac{1}{8}\left({\left(\mathrm{8,0}-\mathrm{7,975}\right)}^2+{\left(\mathrm{7,5}-\mathrm{7,975}\right)}^2+\mathrm{\dots }+{\left(\mathrm{9,0}-\mathrm{7,975}\right)}^2\right)=\mathrm{0,302}$

Phương sai mẫu số liệu của Bình là:

$S^2=\frac{1}{8}\left({\left(\mathrm{8,5}-\mathrm{7,6875}\right)}^2+{\left(\mathrm{9,5}-\mathrm{7,6875}\right)}^2+\mathrm{\dots }+{\left(\mathrm{9,0}-\mathrm{7,6875}\right)}^2\right)=\mathrm{3,059}$

Vì 3,059 > 0,302 nên Bình học lệch hơn An.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 15. Bảng sau đây cho ta biết số cuốn sách mà học sinh của một lớp ở trường Trung học phổ thông đã đọc:

Số sách	1	2	3	4	5	6
Số học sinh đọc	10	m	8	6	n	3	n = 40

Tìm m và n, biết phương sai của mẫu số liệu trên xấp xỉ 2,52.

A. m = 7, n = 6;

B. m = 6, n = 7;

C. m = 8, n = 5;

D. m = 5, n = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta thấy m, n đều là số tự nhiên.

Số học sinh của lớp đó là: 10 + m + 8 + 6 + n + 3 = 40 Þ m + n = 13 (1)

Số sách trung bình là:$\overline{x}=\frac{10.1+2m+3.8+4.6+5n+6.3}{40}=\frac{2m+5n+76}{40}$.

Vì phương sai của mẫu số liệu xấp xỉ 2,52 nên ta có:

$\frac{1}{40}\left({10.1}^2+m{.2}^2+{8.3}^2+{6.4}^2+n{.5}^2+{3.6}^2\right)-{\overline{x}}^2\approx \mathrm{2,52}$

$\iff \frac{1}{40}\left(4m+25n+286\right)-{\left(\frac{2m+5n+76}{40}\right)}^2\approx \mathrm{2,52}$ (2)

Ta thấy m, n là nghiệm của phương trình (1), (2) và m, n là số tự nhiên.

Cách 1:

Thế m = 7, n = 6 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,6 ≠ 2,52

Do đó ta loại đáp án A.

Thế m = 6, n = 7 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,669 ≠ 2,52

Do đó ta loại đáp án B.

Thế m = 8, n = 5 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,52 (đúng)

Do đó ta chọn đáp án C.

Thế m = 5, n = 8 vào vế trái (2) ta được: VT ≈ 2,73 ≠2,52

Do đó ta loại đáp án D.

Vậy m = 8 và n = 5.

Cách 2:

Từ (1) ta có: n = 13 – m, thay vào (2) ta được:

$\frac{1}{40}\left(4m+25\left(13-m\right)+286\right)-{\left(\frac{2m+5\left(13-m\right)+76}{40}\right)}^2\approx \mathrm{2,52}$

$\iff \frac{1}{40}\left(611-21m\right)-{\left(\frac{141-3m}{40}\right)}^2\approx \mathrm{2,52}$

$\iff \frac{1}{40}\left(611-21m\right)-\frac{{141}^2-\mathrm{2.141.3}m+9m^2}{1600}\approx \mathrm{2,52}$

⇔ ‒9m² + 6m + 4559 – 4032 ≈ 0

⇔ ‒9m² + 6m + 527 ≈ 0

$\iff \left(\begin{array}{c}m\approx 8\left(tm\right)\\ m\approx -\mathrm{7,3}\left(ktm\right)\end{array}\right)$

Với m = 8 ta có n = 13 – 8 = 5.

Vậy m = 8 và n = 5.

Vậy ta chọn đáp án C.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Trắc nghiệm Ôn tập chương 6

Trắc nghiệm Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Trắc nghiệm Bài 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn