20 câu Trắc nghiệm Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác

I. Nhận biết

Câu 1. Cho tam giác ABC bất kì có BC = a, AC = b và AB = c. Đẳng thức nào đúng?

A. b² = a² + c² – ac.cosB;

B. a² = b² + c² + 2bc.cosA;

C. c² = b² + a² + ab.cosC;

D. c² = b² + a² – 2ab.cosC.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Theo định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = a² + c² – 2ac.cosB;

c² = b² + a² – 2ab.cosC.

Do đó phương án D là đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a và AC = b. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\frac{a}{\sin A}=2R;$

B. $b=\frac{a.\sin B}{\sin A}$.     

C. b = 2R.sinA;

D. c = 2R.sinC.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$ Do đó A đúng.

Từ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ta suy ra $b=\frac{a}{\sin A}.\sin B=\frac{a.\sin B}{\sin A}.$ Do đó B đúng.

Ta cũng có hệ quả định lí sin: b = 2R.sinB và c = 2R.sinC.

Do đó C sai và D đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 3. Cho tam giác ABC bất kì có BC = a, AC = b và AB = c. Gọi h_a, h_b, h_c độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB. Biết tam giác ABC có diện tích là S. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. h_a = $\frac{S}{a}$

B. h_b = $\frac{2S}{b};$

C. h_c = $\frac{S}{2c};$

D. h_a = $\frac{4S}{a}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$ah_a = $\frac{1}{2}$bh_b =  ch_c

Do đó ta có: h_a =$\frac{2S}{a};$  h_b = $\frac{2S}{b};$  h_c = $\frac{2S}{c}$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 4. Cho tam giác ABC bất kì có BC = a, AC = b và AB = c. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác; p, S lần lượt là nửa chu vi và diện tích tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. S = $\frac{1}{2}$abc;

B. $\frac{a}{\sin A}=R;$

C. $\cos B=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};$

D. $r=\frac{S}{p}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Theo hệ quả định lí côsin ta có: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.$ Do đó C sai.

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R.$ Do đó B sai.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác như sau:

• S = $\frac{abc}{4R}.$ Do đó A sai.

• S = pr, suy ra $r=\frac{S}{p}.$ Do đó D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 5. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c. Biết $\widehat{C}=120°.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. c² = a² + b² – ab;

B. c² = a² + b² + ab;

C. c² = a² + b² – 3ab;

D. c² = a² + b² + 3ab.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Theo định lí côsin ta có: c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Mà $\widehat{C}=120°$ nên cosC = $-\frac{1}{2}$

Do đó c² = a² + b² – 2ab.$\left(-\frac{1}{2}\right)$ = c² = a² + b² + ab.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 6 Với điểm $M\left(\frac{4}{5};\frac{3}{5}\right)$, ta gọi $\widehat{xOM}=\alpha$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ và $co\text{s}\alpha \text{\hspace{0.17em}=}\frac{4}{5};$

B. $\sin \alpha =\frac{4}{5}$ và $co\text{s}\alpha \text{\hspace{0.17em}=}\frac{3}{5};$

C. $\sin \alpha =\frac{16}{25}$ và $co\text{s}\alpha \text{\hspace{0.17em}=}\frac{9}{25}$;

D. $\sin \alpha =\frac{9}{25}$ và $co\text{s}\alpha \text{\hspace{0.17em}=}\frac{16}{25}.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Với điểm $M\left(\frac{4}{5};\frac{3}{5}\right)$, ta có $\widehat{xOM}=\alpha$. Khi đó theo định nghĩa, ta có:

⦁ sinα = y_M = $\frac{3}{5}$;

⦁ cosα = x_M = $\frac{4}{5}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 7. Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có sin(90° – α) và tan(90° – α) lần lượt bằng:

A. cotα và cosα;            

B. sinα và tanα;            

C. cosα và cotα;            

D. cosα và tanα.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

⦁ sin(90° – α) = cosα;

⦁ tan(90° – α) = cotα.

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 8. Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có cos(180° – α) bằng:

A. –cosα;             

B. cosα;               

C. sinα;                

D. tanα.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có cos(180° – α) = –cosα.

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 9. Giá trị của tan103° bằng:

A. tan77°;           

B. –tan77°;          

C. cot77°;            

D. –cot77°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có tan103° = tan(180° – 77°) = –tan77°.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 10. Nếu góc α thỏa mãn 90° ≤ α ≤ 180° thì:

A. cotα > 0;         

B. tanα > 0;         

C. cosα > 0;                  

D. sinα > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Nếu góc α thỏa mãn 90° ≤ α ≤ 180° thì α là góc tù.

Khi đó sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.

Do đó ta chọn phương án D.

II. Thông hiểu

Câu 1. ∆ABC có AB = 5, AC = 10, $\widehat{A}=60°$. Độ dài đường cao h_a của ∆ABC bằng:

A. $3\sqrt{5}$;               

B. $\sqrt{5}$;                

C. 5;           

D. $\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho $∆$ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

= 5² + 10² – 2.5.10.cos60°

= 75.

Suy ra BC = $\sqrt{75}$= $5\sqrt{3}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.5.10.}\sin 60°=\frac{25\sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích)

Ta có $S=\frac{1}{2}BC.h_a$

Suy ra $h_a=\frac{2S}{BC}=\frac{2.25\sqrt{3}}{2.5\sqrt{3}}=5$.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 2. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1 cm và có đường chéo AC = $\sqrt{3}$ cm. Số đo $\widehat{BAD}$ bằng:

A. 30°;                

B. 45°;                 

C. 60°;       

D. 120°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 cm nên ta có AB = BC = 1 cm và AC = $\sqrt{3}$ cm.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho $∆$ABC, ta có:

$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2}{\mathrm{2.1.}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra $\widehat{BAC}=30°$.

Vì ABCD là hình thoi nên đường chéo AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$.

Suy ra $\widehat{BAD}=2\widehat{BAC}=2.30°=60°$.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 3. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4 cm có diện tích bằng:

A. 13 cm²;           

B. $13\sqrt{2}$ cm²;                

C. $12\sqrt{3}$ cm²;                

D. 15 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Do ∆ABC đều nên $\widehat{BAC}=60°$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta có $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R$

⇔ BC = 2R.sinA = 2.4.sin60° = $4\sqrt{3}$.

Vì ∆ABC đều nên ta có AB = AC = BC = $4\sqrt{3}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{4\sqrt{3}.4\sqrt{3}.4\sqrt{3}}{4.4}=12\sqrt{3}$ (cm²)

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 4. Cho ∆ABC biết b = 32, c = 45, $\widehat{A}=87°$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a ≈ 53,8, $\widehat{B}\approx 37°,\widehat{C}\approx 56°$ ;          

B. a ≈ 2898,3, $\widehat{B}\approx 37°,\widehat{C}\approx 56°$;                 

C. a ≈ 53,8, $\widehat{B}\approx 56°,\widehat{C}\approx 37°$;            

D. a ≈ 55,2, $\widehat{B}\approx 37°,\widehat{C}\approx 56°$;.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA

= 32² + 45² – 2.32.45.cos87°

≈ 2898,3

Suy ra a ≈ $\sqrt{2898,3}$ ≈ 53,8.

Theo định lí sin, ta có $\sin B=\frac{b.\sin A}{a}\approx \frac{32.\sin 87°}{53,8}\approx 0,6$

Suy ra $\widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)\approx 180°-\left(87°+37°\right)=56°$.

Do đó $\widehat{B}\approx 37°$ 

($\widehat{B}\approx 180°-37°=143°$ không thỏa mãn do $\widehat{A}+\widehat{B}\approx 87°+143°=230°>180°)$

∆ABC có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)\approx 180°-\left(87°+37°\right)=56°$.

Vậy a ≈ 53,8, $\widehat{B}\approx 37°,\widehat{C}\approx 56°$.

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 5. Cho ∆ABC, biết $\widehat{A}=60°$, $h_c=2\sqrt{3}$, R = 6. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a=6\sqrt{3},b=2+4\sqrt{6},c=4;$;

B. $a=6\sqrt{3},b=4,c=2+4\sqrt{6}$;          

C. $a=6\sqrt{3},b=4,c=2+\sqrt{6};$   

D. $a=6\sqrt{3},b=2+\sqrt{6},c=4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

⦁ Theo hệ quả định lí sin, ta có:

a = 2R.sinA = 2.6.sin60° = $6\sqrt{3}$.

⦁ Ta có S = $\frac{1}{2}c{h}_c=\frac{1}{2}bc\sin A$.

Suy ra h_c = b.sinA

Do đó $b=\frac{h_c}{\sin A}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60°}=4$.

⦁ Theo định lí côsin, ta có a² = b² + c² – 2bc.cosA

Suy ra ${\left(6\sqrt{3}\right)}^2=4^2+c^2-\mathrm{2.4.}c.\cos 60°$

Khi đó c² – 4c – 92 = 0

Vì vậy $c=2+4\sqrt{6}$ hoặc $c=2-4\sqrt{6}$.

Vì c là độ dài một cạnh của ∆ABC nên c > 0.

Do đó ta nhận $c=2+4\sqrt{6}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 6. Giá trị của biểu thức B = 3 – sin²90° + 2cos²60° – 3tan²45° bằng:

A. 2;          

B.$\frac{1}{2}$;          

C. $-\frac{1}{2}$;                

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có B = 3 – sin²90° + 2cos²60° – 3tan²45°.

= 3 – 1² + 2.${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ – 3.1² = $-\frac{1}{2}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 7. Cho hai góc α và β (với 0° ≤ α, β ≤ 180°) thỏa mãn α + β = 180°. Giá trị của biểu thức P = sinα.cosα + sinβ.cosβ bằng:

A. 0;

B. 1;           

C. –1;                  

D. 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Với 0° ≤ α, β ≤ 180° và α + β = 180° ta có:

⦁ sinα = sin(180° – β) = sinβ;

⦁ cosα = cos(180° – β) = –cosβ.

Suy ra P = sinα.cosα + sinβ.cosβ

= sinβ.(–cosβ) + sinβ.cosβ

= 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 8. Giá trị của biểu thức M = sin50° + cos70° + cos110° – sin130° bằng:

A. –1;

B. $\frac{1}{2}$;

C. 0;

D. 1;

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có M = sin50° + cos70° + cos110° – sin130°

= sin50° + cos70° + cos(180° – 70°) – sin(180° – 50°)

= sin50° + cos70° – cos70° – sin50°

= (sin50° – sin50°) + (cos70° – cos70°)

= 0 + 0

= 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 9. Giá trị của biểu thức H = cot5°.cot10°.cot15°…cot80°.cot85° bằng:

A. –1;

B. 1;

C. 0;

D. 2.

Đáp án đúng là: B

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có H = cot5°.cot10°.cot15°…cot80°.cot85°

= cot5°.cot10°.cot15°…cot(90° – 10°).cot(90° – 5°)

= cot5°.cot10°.cot15°…tan10°.tan5°

= (cot5°.tan5°).(cot10°.tan10°)…(cot40°.tan40°).cot45°

= 1.1…1.cot(45°)           (Áp dụng kết quả Bài tập 5b, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một)

= cot45°

= 1.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 10. ∆ABC có AB = 3, AC = 6 và $\widehat{A}=60°$. Độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng:

A. 3;          

B. $3\sqrt{3}$;               

C. $\sqrt{3}$;                 

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

BC² = AB² + AC² –2.AB.AC.cosA

= 3² + 6² – 2.3.6.cos60°

= 27.

Suy ra $BC=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.

Áp dụng định lí sin, ta có $\frac{BC}{\sin A}=2R$.

Suy ra $R=\frac{BC}{2.\sin A}=\frac{3\sqrt{3}}{2.\sin 60°}=3$.

Vậy ta chọn phương án A.

III. Vận dụng

Câu 1. Cho biết tanα = –3 (0° ≤ α ≤ 180°). Giá trị của $H=\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{6\cos \alpha +7\sin \alpha }$ bằng:

A. $\frac{4}{3}$;         

B. $–\frac{5}{3}$;                 

C. $–\frac{4}{3}$;                

D. $\frac{5}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Vì tanα = –3 nên $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-3$ do đó cosα ≠ 0.

Ta có $H=\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{6\cos \alpha +7\sin \alpha }$

$=\frac{6.\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-7.\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}{6.\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }+7.\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$        (vì cosα ≠ 0)

$=\frac{6.\tan \alpha -7}{6+7.\tan \alpha }$

$=\frac{6.\left(-3\right)-7}{6+7.\left(-3\right)}=\frac{5}{3}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2. Cho biết sinα – cosα = $\frac{1}{\sqrt{5}}$(0° ≤ α, β ≤ 180°). Giá trị của $E=\sqrt{{\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha }$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{15}}{5}$;              

B. $\frac{\sqrt{17}}{5}$;              

C. $\frac{\sqrt{19}}{5}$;              

D. $\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có sinα – cosα = $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

$\Rightarrow {\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2={\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^2$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{5}$

$\Rightarrow 1-2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{5}$ (Vì sin²α + cos²α = 1, áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một)

$\Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{4}{5}$

$\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha =\frac{2}{5}$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{4}{25}$

Ta có $E=\sqrt{{\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha }$

$=\sqrt{{\left({\sin }^2\alpha \right)}^2+{\left({\cos }^2\alpha \right)}^2}$

$=\sqrt{{\left({\sin }^2\alpha \right)}^2+2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha +{\left({\cos }^2\alpha \right)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$

$=\sqrt{{\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$

$=\sqrt{1^2-2.\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{17}}{5}$ 

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 3. Cho biết $2\cos \alpha +\sqrt{2}\sin \alpha =2$, với 0° < α < 90°. Giá trị của cotα bằng:

A. $\frac{\sqrt{5}}{4}$;

B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$;

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $2\cos \alpha +\sqrt{2}\sin \alpha =2$

$\iff \sqrt{2}\sin \alpha =2-2\cos \alpha$

⇒ 2sin²α = (2 – 2cosα)²

⇔ 2(1 – cos²α) = 4 – 8cosα + 4cos²α

⇔ 6cos²α – 8cosα + 2 = 0   (1)

Đặt t = cosα.

Vì 0° < α < 90° nên 0 < t < 1.

Phương trình (1) tương đương với: 6t² – 8t + 2 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Vì 0 < t < 1 nên ta nhận $t=\frac{1}{3}$.

Với $t=\frac{1}{3}$, ta có $\cos \alpha =\frac{1}{3}$.

Suy ra ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{9}$

Áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một, ta có:

sin²α + cos²α = 1

$\iff {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$.

$\iff \left[\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ \sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}\end{array}\right.$

Vì 0° < α < 90° nên α là góc nhọn.

Do đó sinα > 0.

Vì vậy ta nhận $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ta có $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1}{3}:\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 4. Cho ∆ABC và các khẳng định sau:

(I) b² – c² = a(b.cosC – c.cosB);

(II) (b + c)sinA = a(sinB + sinC);

(III) h_a = 2R.sinB.sinC;

(IV) S = R.r.(sinA + sinB + sin C);

Số khẳng định đúng là:

A. 1;          

B. 2;           

C. 3;           

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

⦁ Ta xét khẳng định (I):

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC ta có:

b² – c² = c² + a² – 2ca.cosB – (a² + b² – 2ab.cosC)

= c² + a² – 2ca.cosB – a² – b² + 2ab.cosC

= c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b² – c² = c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ 2(b² – c²) = 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b² – c² = a(b.cosC – c.cosB).

Do đó khẳng định (I) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (II):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

(b + c)sinA = $\left(2R.\sin B+2R.\sin C\right).\frac{a}{2R}$

$=\left(\sin B+\sin C\right).\frac{2R.a}{2R}$

= a(sinB + sinC).

Vì vậy khẳng định (II) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (III):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

2R.sinB.sinC = $2R.\frac{b}{2R}.\frac{c}{2R}$

$=\frac{bc}{2R}=\frac{abc}{4R}.\frac{2}{a}$

$=\frac{2S}{a}=h_a$.

Vì vậy khẳng định (III) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (IV):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

R.r.(sinA + sinB + sin C) = $R.r.\left(\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\right)$

$=R.r.\frac{1}{R}\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)$

$=r.\frac{a+b+c}{2}=r.p=S$.

Vì vậy khẳng định (IV) đúng.

Vậy có 4 khẳng định đúng, ta chọn phương án D.

Câu 5. Cho ∆ABC thỏa mãn $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$. Khi đó ∆ABC là:

A. Tam giác vuông;                

B. Tam giác cân;           

C. Tam giác tù;             

D. Tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ và $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$\sin A=\frac{a}{2R};\sin B=\frac{b}{2R};\sin C=\frac{c}{2R}$.

• Ta có $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$

⇔ sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

$\iff \frac{a}{2R}.\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)=\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\iff \frac{a}{2R}.\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{b}\right)\iff \frac{1}{2}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{b}\right)=b+c\iff \frac{b\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)}{bc}=2\left(b+c\right)$

⇔ a²b + bc² – b³ + a²c + b²c – c³ = 2b²c + 2bc²

⇔ b³ + c³ – (a²b + a²c) + (b²c + bc²) = 0

⇔ (b + c)(b² – bc + c²) – a²(b + c) + bc(b + c) = 0

⇔ (b + c)(b² – bc + c² – a² + bc) = 0

⇔ (b + c)(b² + c² – a²) = 0

⇔ b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b² + c² = a²

⇔ AC² + AB² = BC²

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 6. Cho ∆ABC có a.sinA + b.sinB + c.sinC = h_a + h_b + h_c. Khi đó ∆ABC là:

A. Tam giác cân;           

B. Tam giác đều;           

C. Tam giác thường;               

D. Tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích ∆ABC là: $S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c$.

Suy ra $h_a=\frac{2S}{a};h_b=\frac{2S}{b};h_c=\frac{2S}{c}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}ac.\sin B=\frac{1}{2}ab.\sin C$.

Suy ra $\sin A=\frac{2S}{bc};\sin B=\frac{2S}{ac};\sin C=\frac{2S}{ab}$.

Ta có a.sinA + b.sinB + c.sinC = h_a + h_b + h_c

$\iff a.\frac{2S}{bc}+b.\frac{2S}{ac}+c.\frac{2S}{ab}=\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}$

$\iff 2S.\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)=2S.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

$\iff \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$\iff \frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$

⇔ a² + b² + c² = bc + ac + ab

⇔ 2a² + 2b² + 2c² = 2bc + 2ac + 2ab

⇔ (a² – 2ab + b²) + (a² – 2ac + c²) + (b² – 2bc + c²) = 0

⇔ (a – b)² + (a – c)² + (b – c)² = 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}a-b=0\\ a-c=0\\ b-c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=b\\ a=c\\ b=c\end{array}\right.$

⇔ a = b = c.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 7. Từ vị trí A, người ta quan sát một cái cây cao mọc vuông góc với mặt đất như hình vẽ.

Biết vị trí quan sát cách mặt đất một khoảng AH = 4 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc của vị trí quan sát A trên mặt đất tới gốc cây là HB = 20 m, $\widehat{BAC}=45°$. Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 17,5 m;           

B. 17 m;              

C. 16,5 m;           

D. 16 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Xét ∆ABH vuông tại H có $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{HB}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.

Suy ra $\widehat{ABH}\approx 11°{19}^{‘}$.

Ta có CB ⊥ BH (cái cây vuông góc với mặt đất)

Suy ra $\widehat{CBH}=90°$.

Do đó $\widehat{CBA}+\widehat{ABH}=90°$

Vì vậy $\widehat{CBA}=90°-\widehat{ABH}\approx 90°-11°{19}^{‘}=78°{41}^{‘}$

∆ABC có $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}\right)\approx 180°-\left(45°+78°{41}^{‘}\right)=56°{19}^{‘}$.

∆ABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có:

AB² = AH² + BH²

= 4² + 20² = 416

Suy ra AB = $4\sqrt{26}$ (m) 

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

Suy ra $\frac{BC}{\sin 45°}=\frac{4\sqrt{26}}{\sin 56°{19}^{‘}}$

Do đó $BC=\frac{4\sqrt{26}.\sin 45°}{\sin 56°{19}^{‘}}\approx 17,33$ (m).

Giá trị này gần với 17,5 (m)

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 8. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp, trong đó C là chân tháp.

Một người đứng tại vị trí A ($\widehat{CAD}=63°),$ không sang được bờ bên kia để đo chiều cao h của tháp nên chọn thêm một điểm B (ba điểm A, B, C thẳng hàng) cách A một khoảng 24 m và $\widehat{CBD}=48°$ để tính toán được chiều cao của tháp. Chiều cao h của tháp gần nhất với:

A. 18 m;              

B. 18,5 m;           

C. 60 m;              

D. 60,5 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=180°$ (hai góc kề bù).

$\Rightarrow \widehat{BAD}=180°-\widehat{CAD}=180°-63°=117°$.

∆ABD có: $\widehat{BAD}+\widehat{ADB}+\widehat{ABD}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=180°-\left(\widehat{BAD}+\widehat{ABD}\right)=180°-\left(117°+48°\right)=15°$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABD, ta được $\frac{BD}{\sin \widehat{BAD}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}$

Suy ra $\frac{BD}{\sin 117°}=\frac{24}{\sin 15°}$

Do đó $BD=\frac{24.\sin 117°}{\sin 15°}\approx 82,6$ (m)

∆BCD vuông tại C: $\sin \widehat{CBD}=\frac{CD}{BD}$.

Suy ra $h=CD=BD.\sin \widehat{CBD}\approx 82,6.\sin 48°=61,4$ (m)

Giá trị này gần với 60,5 m.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 9. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50° và 40° so với phương nằm ngang.

Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 12 m;              

B. 19 m;              

C. 24 m;              

D. 29 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{BAD}=50°$

Do đó $\widehat{BAC}=50°-\widehat{CAD}=50°-40°=10°$.

∆ABD có: $\widehat{ABD}+\widehat{BAD}+\widehat{ADB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ABD}=180°-\left(\widehat{BAD}+\widehat{ADB}\right)=180°-\left(50°+90°\right)=40°$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}$

Suy ra $AC=\frac{BC.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{5.\sin 40°}{\sin 10°}\approx 18,5$ (m)

∆ACD vuông tại D: $\sin \widehat{CAD}=\frac{CD}{AC}$$CD=AC.\sin \widehat{CAD}\approx 18,5.\sin 40°\approx 11,9$.

Suy ra $CD=AC.\sin \widehat{CAD}\approx 18,5.\sin 40°\approx 11,9$ (m)

Chiều cao của tòa nhà là:

CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9 (m)

Giá trị này gần với 19 m nhất.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 10. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát được đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao của tòa nhà là AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương ngang AH một góc bằng 30°, phương nhìn BC tạo với phương ngang BD một góc bằng 15°30’.

Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 135 m;            

B. 234 m;            

C. 165 m;            

D. 195 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAH}=\widehat{BAH}=90°$.

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90°-30°=60°$.

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=90°+15°{30}^{‘}=105°{30}^{‘}$.

∆ABC có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=180°-\left(60°+105°{30}^{‘}\right)=14°{30}^{‘}$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

Suy ra $AC=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{70.\sin 105°{30}^{‘}}{\sin 14°{30}^{‘}}\approx 269,4$ (m)

∆ACH vuông tại H: $\sin \widehat{CAH}=\frac{CH}{AC}$

Suy ra $CH=AC.\sin \widehat{CAH}\approx 269,4.\sin 30°=134,7$ (m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Giá trị này gần với 135 m nhất.

Do đó ta chọn phương án A.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Trắc nghiệm Ôn tập chương 4

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Khái niệm vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ