20 câu Trắc nghiệm Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Nhận biết

Câu 1 O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6<0\\ 2x+y+4<0\end{array}\right.;$

B. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6>0\\ 2x+y+4>0\end{array}\right.;$

C. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6>0\\ 2x+y+4<0\end{array}\right.;$

D. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6<0\\ 2x+y+4>0\end{array}\right..$

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}0+3.0-6=-6<0\\ 2.0+0+4=4>0\end{array}\right.$ nên cặp số O(0; 0) thỏa mãn đồng thời cả hai bất phương trình của hệ $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6<0\\ 2x+y+4>0\end{array}\right..$

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6<0\\ 2x+y+4>0\end{array}\right..$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 2x-\frac{3}{2}y-1\ge 0\\ 4x-3y-2\le 0\end{array}\right..$ Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không kể bờ x = 0;

B. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền kể bờ $2x-\frac{3}{2}y-1=0;$

C. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền kể cả bờ 4x – 3y – 2 = 0;

D. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền chứa gốc toạ độ.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Xét hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 2x-\frac{3}{2}y-1\ge 0\\ 4x-3y-2\le 0\end{array}\right..$

+ Khi đó biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền:

• Không kể bờ x = 0;

• Có kể bờ 2x – .$\frac{3}{2}$.y – 1 = 0;

• Có kể bờ 4x – 3y – 2 = 0.

+ Xét điểm O(0; 0) ta có hoành độ của điểm O không thỏa mãn x > 0 nên miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không chứa gốc toạ độ.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 3. Cho các bất phương trình sau: 2x + y ≤ 0; x² + 2 > 0; 2x + 1 > 0; 1 + y < 0. Có bao nhiêu bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Bất phương trình 2x + y ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0 với a = 2, b = 1, c = 0.

Bất phương trình x² + 2 > 0 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa x² không phải bậc nhất.

Bất phương trình 2x + 1 > 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c > 0 với a = 2, b = 0, c = 1.

Bất phương trình 1 + y < 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c < 0 với a = 0, b = 1, c = 1.

Do đó có 3 bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 4. Trong các cặp số sau, cặp số nào không là nghiệm của bất phương trình x – 4y + 5 ≥ 0?

A. (–5; 0);

B. (–2; 1);

C. (0; 0);

D. (1; –3).

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Xét cặp số (–5; 0) ta có: –5 – 4.0 + 5 = 0 nên (–5; 0) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Xét cặp số (–2; 1) ta có: –2 – 4.1 + 5 = –1 < 0 nên (–2; 1) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Xét cặp số (0; 0) ta có: 0 – 4.0 + 5 > 0 nên (0; 0) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Xét cặp số (1; –3) ta có: 0 – 4.(–3) + 5 = 17 > 0 nên (1; –3) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 5. Cho bất phương trình x + y – 1 ≤ 0. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Bất phương trình đã cho chỉ có một nghiệm duy nhất;

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm;

C. Bất phương trình đã cho luôn có vô số nghiệm;

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là ℝ.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Trên mặt phẳng Oxy, đường thẳng (d): x + y – 1 = 0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng.

Ta thấy O(0;0) ∉ (d) và 1 + 0 – 1 = –1 ≤ 0 nên (0; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ (d) (kể cả bờ (d)) chứa điểm O(0;0).

Xét cặp số (10; 0) ta có: 10 + 0 – 1 = 9 > 0 nên cặp số (10; 0) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy bất phương trình đã cho luôn có vô số nghiệm nhưng không phải là ℝ.

Ta chọn phương án C.

Câu 6. Hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x+\sqrt{3}y+1>0\end{array}\right.$ có miền nghiệm không chứa điểm nào sau đây?

A. A(–1; 2);

B. B $\left(\sqrt{2};0\right);$

C. C $\left(1;\sqrt{3}\right);$ 

D. D$\left(\sqrt{3};0\right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ x+\sqrt{3}y+1>0\end{array}\right.$ có bất phương trình x > 0.

Mà điểm A(–1; 2) có x = –1 < 0 nên miền nghiệm của hệ bất phương trình không chứa điểm A(–1; 2).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 7. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y>0\\ x-3y+3<0\\ x+y-5>0\end{array}\right..$ Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:

A. A(–2; 2);

B. B(5; 3);

C. C(1; –1);

D. O(0; 0).

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Cách 1: Xét từng phương án.

• Xét điểm A(–2; 2):

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}-2-2=-4<0\\ -2-3.2+3=-5<0\\ -2+2-5=-5<0\end{array}\right.$

Do đó cặp số (–2; 2) không thỏa mãn đồng thời ba bất phương trình của hệ đã cho.

Vậy điểm A(–2; 2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

• Xét điểm B(5; 3):

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}5-3=2>0\\ 5-3.3+3=-1<0\\ 5+3-5=3>0\end{array}\right.$

Do đó cặp số (5; 3) thỏa mãn đồng thời ba bất phương trình của hệ đã cho.

Vậy điểm B(5; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Đến đây ta có thể chọn phương án B.

• Xét điểm C(1; –1):

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}1-\left(-1\right)=2>0\\ 1-3.\left(-1\right)+3=7>0\\ 1+\left(-1\right)-5=-5<0\end{array}\right.$

Do đó cặp số (1; –1) không thỏa mãn đồng thời ba bất phương trình của hệ đã cho.

Vậy điểm C(1; –1) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

• Xét điểm O(0; 0):

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}0-0=0\\ 0-3.0+3=3>0\\ 0+0-5=-5<0\end{array}\right.$

Do đó cặp số (0; 0) không thỏa mãn đồng thời ba bất phương trình của hệ đã cho.

Vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ta chọn phương án B.

Cách 2:

• Ta thấy hệ có bất phương trình x – y > 0 nên ta có x > y.

Do đó điểm thuộc miền nghiệm của hệ phải thỏa mãn hoành độ lớn hơn tung độ.

Khi đó ta loại phương án A và D.

• Hệ có bất phương trình x + y – 5 > 0 nên x + y > 5.

Do đó điểm thuộc miền nghiệm của hệ phải thỏa mãn tổng hoành độ và tung độ lớn hơn 5. Ta loại phương án C.

Vậy ta chọn phương án B.

II. Thông hiểu

Câu 1. Miền nghiệm của bất phương trình 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – 9 là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. (0; 0);

B. (1; 1);

C. (–1; 1);

D. (2; 5).

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – 9

Û 4x – 4 + 5y – 15 – 2x + 9 > 0

Û 2x + 5y – 10 > 0.

Xét điểm (0; 0) ta có: 2.0 + 5.0 – 10 = –10 < 0 nên (0; 0) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Xét điểm (1; 1) ta có: 2.1 + 5.1 – 10 = –3 < 0 nên (1; 1) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Xét điểm (–1; 1) ta có: 2.(–1) + 5.1 – 10 = –7 < 0 nên (–1; 1) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Xét điểm (2; 5) ta có: 2.2 + 5.5 – 10 = 19 > 0 nên (2; 5) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Khi đó miền nghiệm của bất phương trình 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – 9 là nửa mặt phẳng chứa điểm (2; 5).

Câu 2. Miền nghiệm của bất phương trình 3x – 2y < –6 được biểu diễn bởi miền không tô đậm trong hình vẽ nào dưới đây:

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 3x – 2y < –6 Û 3x – 2y + 6 < 0.

Trước hết, ta vẽ đường thẳng (d): 3x – 2y + 6 = 0.

Ta thấy (0 ; 0) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) và không chứa điểm (0; 0).

Vậy miền không tô đậm trong hình vẽ là miền nghiệm của bất phương trình.

Câu 3. Một người thợ mộc tốn 6 giờ để làm một cái bàn và 4 giờ để làm một cái ghế. Gọi x, y lần lượt là số bàn và số ghế mà người thợ mộc sản xuất trong một tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y biết trong một tuần người thợ mộc có thể làm tối đa 50 giờ.

A. 3x + 2y < 25;

B. 3x + 2y > 25;

C. 3x + 2y ≤ 25;

D. 3x + 2y ≥ 25.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Thời gian người thợ mộc làm x cái bàn trong 1 tuần là: 6x (giờ).

Thời gian người thợ mộc làm y cái ghế trong 1 tuần là: 4y (giờ)

Thời gian làm x cái bàn và y cái ghế trong 1 tuần là: 6x + 4y (giờ)

Do trong 1 tuần người thợ mộc có thể làm tối đa 50 giờ nên ta có: 6x + 4y ≤ 50.

Hay 3x + 2y ≤ 25.

Ta chọn phương án C.

Câu 4. Phần không tô đậm (không kể đường thẳng d) trong hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào?

A. x – 2y > 3;

B. x – 2y < 3;

C. 2x – y > 3;

D. 2x – y < 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta thấy đường thẳng đi qua 2 điểm $\left(\frac{3}{2};0\right)$ và (0; –3) nên có phương trình 2x – y – 3 = 0.

Xét cặp số (0; 0) ta có 2.0 – 0 – 3 = –3 < 0.

Quan sát hình vẽ ta thấy điểm (0; 0) không nằm trong miền tô đậm nên là nghiệm của bất phương trình.

Do đó bất phương trình là 2x – y – 3 < 0 hay 2x – y < 3.

Vậy phần không tô đậm (không kể đường thẳng d) ở hình trên biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x – y < 3.

Câu 5. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y-1\ge 0\\ 4x-3y-2\le 0\end{array}\right.$. Miền nghiệm (miền không gạch chéo) của hệ bất phương trình được biểu diễn như trong hình vẽ nào sau đây?

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Trên mặt phẳng Oxy:

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: 2x – y – 1 ≥ 0.

Vẽ đường thẳng d₁: 2x – y – 1 = 0 đi qua hai điểm (0; –1) và (1; 1).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₁, ta có: 2.0 – 0 – 1 = –1 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 2x – y – 1 ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₁) không chứa điểm O(0; 0).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: 4x – 3y – 2 ≤ 0.

Vẽ đường thẳng d₂: 4x – 3y – 2 = 0 đi qua hai điểm (2; 2) và (–1; –2).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₂, ta có: 4.0 – 3.0 – 2 = –2 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình 4x – 3y – 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₂) chứa điểm O(0; 0).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁ và d₂) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 1. Cho các đường thẳng d₁: 3x – 4y + 12 = 0, d₂: x + y – 5 = 0 và d₃: x + 1 = 0.

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂, d₃) trong hình vẽ bên dưới là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình dưới đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}3x-4y+12\le 0\\ x+y-5\le 0\\ x+1\le 0;\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}3x-4y+12\ge 0\\ x+y-5\ge 0\\ x+1\ge 0;\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}3x-4y+12\le 0\\ x+y-5\ge 0\\ x+1\le 0;\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}3x-4y+12\ge 0\\ x+y-5\le 0\\ x+1\ge 0.\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Ta xét điểm O(0; 0):

$\left\{\begin{array}{l}3.0-4.0+12=12>0\\ 0+0-5=-5<0\\ 0+1=1>0.\end{array}\right.$

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của các bất phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+12>0\\ x+y-5<0\\ x+1>0.\end{array}\right.$

Quan sát hình vẽ ta thấy miền nghiệm có:

• Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d₁ (3x – 4y + 12 = 0) có chứa điểm O;

• Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d₂ (x + y – 5 = 0) có chứa điểm O;

• Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d₃ (x + 1 = 0) không chứa điểm O.

Do đó hệ bất phương trình cần tìm là $\left\{\begin{array}{l}3x-4y+12\ge 0\\ x+y-5\le 0\\ x+1\le 0.\end{array}\right.$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 7. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+2y<1\left(1\right)\\ x+\frac{2}{3}y<1\left(2\right)\end{array}\right..$ Gọi S₁ là miền nghiệm của bất phương trình (1), S₂ là miền nghiệm của bất phương trình (2).

Cho các phát biểu sau:

(I) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là S₁;

(II) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là S₂;

(III) Hai bất phương trình của hệ có cùng miền nghiệm.

Số phát biểu đúng là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}3x+2y<1\left(1\right)\\ x+\frac{2}{3}y<1\left(2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x+2y-1<0\\ 3x+2y-3<0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}3x+2y-1<0\\ 3x+2y-3<0\end{array}\right.$ trên mặt phẳng Oxy.

• Miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y – 1 < 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₁: 3x + 2y – 1 = 0) chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y – 3 < 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₂: 3x + 2y – 3 = 0) chứa điểm O(0; 0).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Do đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền (S₁) nên chỉ có (I) đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 8. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ m{x}^2+3y>0\\ 2x-\left(m^2-m\right)y^2\le 0\end{array}\right.$ (với m là tham số). Giá trị m để hệ bất phương trình đó là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là:

A. m = 0;

B. m = 1;

C. m ∈ {0; 1};

D. m ∈ ∅.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Để hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ m{x}^2+3y>0\\ 2x-\left(m^2-m\right)y^2\le 0\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y thì hệ số của x² và y² bằng 0.

Tức là $\left\{\begin{array}{l}m=0\\ m^2-m=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=0\\ \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m=0.$

Vậy ta chọn phương án A.

III. Vận dụng

Câu 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 3x + my − 7 ≥ 0 có miền nghiệm chứa điểm A($\sqrt{2}$; 1) là:

A. m ∈ $\left[3\sqrt{2}-7;+\infty \right)$;

B. m ∈ $\left(-\infty ;3\sqrt{2}-7\right)$;

C. m ∈ $\left(-\infty ;7-3\sqrt{3}\right)$;

D. m ∈ $\left[7-3\sqrt{2};+\infty \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Do điểm A($\sqrt{2}$; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình, thay x = $\sqrt{2}$ và y = 1 vào bất phương trình ta được:

$3\sqrt{2}+m-7\ge 0\iff m\ge 7-3\sqrt{2}$

Vậy với $m\in \left[7-3\sqrt{2};+\infty \right)$ thì bất phương trình 3x + my − 7 ≥ 0 có miền nghiệm chứa điểm A($\sqrt{2}$; 1).

Ta chọn phương án D.

Câu 2. Với giá trị nào của m thì điểm A(1 − m; m) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2x − 3(y − x) > 4.

A. 0 ≤ m ≤ 1;

B. m ≤ $\frac{1}{8}$ ;

C. $\frac{1}{8}$ ≤ m ≤ 1;

D. m ≥ $\frac{1}{8}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: 2x − 3(y − x) > 4 ⇔ 2x – 3y + 3x – 4 > 0 ⇔ 5x – 3y – 4 > 0.

Do điểm A(1 − m; m) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên thay tọa độ điểm A vào bất phương trình trên không thoả mãn hay điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình 5x – 3y – 4 ≤ 0.

Khi đó ta có: 5(1 – m) – 3m – 4 ≤ 0

⇔ 5 – 5m – 3m – 4 ≥ 0

⇔ –8m ≥ –1

⇔ m ≤ $\frac{1}{8}$

Ta chọn phương án B.

Câu 3. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right..$ Gọi điểm có toạ độ (x; y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình sao cho F(x; y) = x + 2y đạt giá trị lớn nhất. Số điểm thoả mãn là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\begin{array}{l}y\ge 0\\ y\le 4\end{array}\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$

Trên mặt phẳng Oxy:

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: y ≥ 0.

Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả đường thẳng d₁: y = 0) chứa điểm (0; 1).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: y ≤ 4.

Miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 4 là nửa mặt phẳng (kể cả đường thẳng d₂: y = 4) chứa điểm (0; 1).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x ≥ 0.

Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả đường thẳng d₃: x = 0) chứa điểm (1; 0).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x – y – 1 ≤ 0.

Vẽ đường thẳng d₄: x – y – 1 = 0 đi qua hai điểm (0; –1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₁, ta có: 0 – 0 – 1 = –1 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x – y – 1 ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₄) chứa điểm O(0; 0).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x + 2y – 10 ≤ 0.

 

Vẽ đường thẳng d₅: x + 2y – 10 = 0 đi qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₁, ta có: 0 + 2.0 – 10 = –10 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₅) chứa điểm O(0; 0).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂, d₃, d₄ và d₅) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác OABCD với O(0; 0), A(1; 0), B(4; 3), C(2; 4) và D(0; 4).

Xét biểu thức F(x; y) = x + 2y:

Tại O(0; 0): F = 0 + 2.0 = 0;

Tại A(1; 0): F = 1 + 2.0 = 1;

Tại B(4; 3): F = 4 + 2.3 = 10;

Tại C(2; 4): F = 2 + 2.4 = 10;

Tại D(0; 4): F = 0 + 2.4 = 8.

F(x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 10 tại hai điểm B(4; 3) và C(2; 4).

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta chọn phương án C.

Câu 4. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right..$  Diện tích miền nghiệm của hệ bất phương trình bằng:

A. 6;

B. 12;

C. 24;

D. 28.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Trên mặt phẳng Oxy:

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x ≥ 0.

Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả đường thẳng d₁: x = 0) chứa điểm (1; 0).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x – y – 1 ≤ 0.

Vẽ đường thẳng d₂: x – y – 1 = 0 đi qua hai điểm (0; –1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₂, ta có: 0 – 0 – 1 = –1 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x – y – 1 ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₂) chứa điểm O(0; 0).

• Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình: x + 2y – 10 ≤ 0.

Vẽ đường thẳng d₃: x + 2y – 10 = 0 đi qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0) ∉ d₁, ta có: 0 + 2.0 – 10 = –10 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₃) chứa điểm O(0; 0).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂, d₃) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(–1; 0), B(4; 3) và C(0; 5).

Gọi BH là đường cao kẻ từ B đến AC.

Khi đó BH = |x_B| = 4.

CA = CO + OA = |y_C| + |y_A| = 5 + 1 = 6.

Diện tích của tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$ BH.CA = $\frac{1}{2}$ .4.6 = 12 (đơn vị diện tích).

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 5. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 30 giây quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 000 000 đồng, trên đài truyền hình là 15 000 000 đồng. Sóng phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo có thời lượng ít nhất là 30 giây và nhiều dài nhất 2 phút. Đài truyền hình chỉ nhận các chương trình quảng cáo có thời lượng ít nhất là 10 giây và nhiều nhất là 30 giây. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 20 000 000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

A. 30 giây trên sóng phát thanh và 10 giây đài truyền hình;

B. 30 giây trên sóng phát thanh và 30 giây đài truyền hình;

C. 90 giây trên sóng phát thanh và 10 giây đài truyền hình;

D. 120 giây trên sóng phát thanh và 10 giây đài truyền hình.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Chi phí cho 30 giây quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 000 000 đồng, trên sóng truyền hình là 15 000 000 đồng nên chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 10 000 000 đồng, trên sóng truyền hình là 30 000 000 đồng.

Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là x (phút), trên truyền hình là y (phút).

Chi phí cho quảng cáo trên sóng phát thanh là: 10 000 000x (đồng).

Chi phí cho quảng cáo trên truyền hình là: 30 000 000y (đồng).

Tổng chi phí cho việc quảng cáo là: 10 000 000x + 30 000 000y (đồng).

Do công ty dự định chi tối đa 20 000 000 đồng cho quảng cáo nên ta có:

10 000 000x + 30 000 000y ≤ 20 000 000

Hay x + 3y ≤ 2 $\iff$ x + 3y – 2 ≤ 0.

Đổi 10 giây = $\frac{1}{6}$ phút, 30 giây = $\frac{1}{6}$ phút.

Sóng phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo có thời lượng ít nhất là 30 giây và nhiều dài nhất 2 phút nên ta có:

$\frac{1}{2}$ ≤ x ≤ 2 $\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ x\le 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{2}\ge 0\\ x-2\le 0\end{array}\right.$

Đài truyền hình chỉ nhận các chương trình quảng cáo có thời lượng ít nhất là 10 giây và nhiều nhất là 30 giây nên ta có:

$\frac{1}{6}$ ≤ y ≤ $\frac{1}{2}$ $\iff \left\{\begin{array}{l}y\ge \frac{1}{6}\\ y\le \frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y-\frac{1}{6}\ge 0\\ y-\frac{1}{2}\le 0\end{array}\right.$ 

Hiệu quả chung của quảng cáo là: x + 6y.

Bài toán trở thành: Xác định x, y sao cho F(x; y) = x + 6y đạt giá trị lớn nhất với:

$\left\{\begin{array}{l}x-\frac{1}{2}\ge 0\\ x-2\le 0\\ y-\frac{1}{6}\ge 0\\ y-\frac{1}{2}\le 0\\ x+3y-2\le 0\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng Oxy:

• Miền nghiệm của bất phương trình x – $\frac{1}{2}$ ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₁: x – $\frac{1}{2}$ = 0) không chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình x – 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₂: x – 2 = 0) chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình y – $\frac{1}{6}$ ≥ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₃: y – $\frac{1}{6}$= 0) không chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình y – $\frac{1}{2}$ ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₄: y – $\frac{1}{2}$ = 0) chứa điểm O(0; 0).

• Miền nghiệm của bất phương trình x + 3y – 2 ≤ 0 là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d₅: x + 3y – 2 = 0) chứa điểm O(0; 0).

Miền không gạch chéo (kể cả bờ d₁, d₂, d₃, d₄ và d₅) là giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right),$ B$\left(\frac{3}{2};\frac{1}{6}\right)$ và C$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$ 

Xét F(x; y) = x + 6y ta có:

Tại A$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$ F = $\frac{1}{2}+6.\frac{1}{6}=1,5;$ 

Tại B$\left(\frac{3}{2};\frac{1}{6}\right)$ F = $\frac{3}{2}+6.\frac{1}{6}=2,5;$ 

Tại C$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$ F = $\frac{1}{2}+6.\frac{1}{2}=3,5.$ 

Khi đó F(x; y) đạt giá trị lớn nhất bằng 3,5 tại C$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$ 

Tức là công ty đó cần đặt thời lượng trên đài phát thanh $\frac{1}{2}$ phút = 30 giây và trên đài truyền hình $\frac{1}{2}$ phút = 30 giây để đạt hiệu quả nhất.

Vậy ta chọn phương án B.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Ôn tập chương 2

Trắc nghiệm Bài 1: Hàm số và đồ thị

Trắc nghiệm Bài 2: Hàm số bậc hai

Trắc nghiệm Ôn tập chương 3