Chuyên đề Toán 10 Bài 7: Parabol | Kết nối tri thức

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 7: Parabol

1. Hình dạng của parabol

HĐ1 trang 54 Chuyên đề Toán 10: Cho parabol có phương trình chính tắc y² = 2px (H.3.18).

 

a) Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc parabol thì điểm N(x₀; –y₀) có thuộc parabol hay không?

b) Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể rút ra điều gì về hoành độ của những điểm thuộc parabol?

Lời giải:

a) M(x₀; y₀) thuộc parabol thì $y_0^2=2p{x}_0.$

Có ${\left(-y_0\right)}^2=y_0^2=2p{x}_0$ nên N(x₀; –y₀) cũng thuộc parabol.

b) Từ phương trình chính tắc của parabol, ta thấy hoành độ của những điểm thuộc parabol đều không âm.

Luyện tập 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6; 6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

Theo đề bài, (P) đi qua điểm A(6; 6) ⇒ 6² = 2p.6 ⇒ p = 3.

Suy ra phương trình đường chuẩn của (P) là x = $–\frac{3}{2}$

2. Bán kính qua tiêu, tâm sai và đường chuẩn

HĐ2 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho parabol có phương trình chính tắc y² = 2px (H.3. 19).

 

a) Nêu toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn Δ của parabol.

b) Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc parabol. Hãy so sánh MF với d(M; Δ), từ đó, tính MF theo x₀ và y₀. Độ dài MF gọi là bán kinh qua tiêu của điểm M.

Lời giải:

a) Điểm F có toạ độ là $\left(\frac{p}{2};0\right)$ và phương trình đường chuẩn là  ∆ : x = $–\frac{p}{2}$.

b) Theo định nghĩa parabol thì MF = d(M; Δ).

Ta viết lại phương trình Δ: $x=-\frac{p}{2}\iff x+0.y+\frac{p}{2}=0.$

Khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn Δ là:

d(M; Δ) = $\frac{\left|x_0+0.y_0+\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x_0+\frac{p}{2}\right|=x_0+\frac{p}{2}.$

Vậy MF = d(M; Δ) = $x_0+\frac{p}{2}.$

Luyện tập 2 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho parabol có phương trình y² = 8x. Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.

Lời giải:

Có 2p = 8 ⇒ p = 4 ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.

Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có 4² = 8x ⇒ x = 2. Vậy M(2; 4).

Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là MF = x + $\frac{p}{2}=2+\frac{4}{2}=4.$

Luyện tập 3 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Một sao chổi chuyền động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là 106 km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét?

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.

Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y² = 2px (p > 0).

Giả sử sao chổi có toạ độ là M(x; y).

Khi đó khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là MF = x + $\frac{p}{2}\ge \frac{p}{2}.$

Do đó khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2}$

⇒ $\frac{p}{2}$ = 106 ⇒ p = 212.

Vậy phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y² = 424x.

Khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, tức điểm M nằm trên đường thẳng $x= \frac{p}{2}$ thì M có hoành độ là $x=\frac{p}{2}=106$

⇒ Khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là:

MF = x + $\frac{p}{2}$ = 106 + 106 = 212 (km).

Vận dụng trang 56 Chuyên đề Toán 10: Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học.

a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan;

b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm;

c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét;

d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một ngôi sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Lời giải:

a) Gọi toạ độ của điểm chân cầu có tung độ dương là M(x; y).

Cổng rộng 192 m tức là tung độ của điểm chân cầu là y = 192 : 2 = 96

$\Rightarrow {96}^2=48x\Rightarrow x=192.$

Vậy chiều cao của cổng là 192 mét.

b) Vì mô hình bác Vinh làm có tỉ lệ là 1 : 100 nên:

– Chiều cao của mô hình là: h = 192 : 100 = 1,92 (m).

– Chiều rộng của mô hình là: d = 192 : 100 = 1,92 (m).

c) Gọi phương trình chính tắc của mô hình là y² = 2px (p > 0).

Khi đó toạ độ của điểm chân cầu là $\left(h;\frac{d}{2}\right)=\left(1,92;\frac{1,92}{2}\right)=\left(1,92;0,96\right).$

$\Rightarrow 0,{96}^2=2p.1,92\Rightarrow p=0,24.$

Vậy phương trình chính tắc của mô hình là y² = 0,48x.

d) Tiêu điểm của mô hình có toạ độ là $\left(\frac{p}{2};0\right)=\left(\frac{0,24}{2};0\right)=\left(0,12;0\right).$

Do đó ngôi sao cách đỉnh của mô hình 0,12 m

⇒ Độ cao của ngôi sao so với mặt đất là: 1,92 – 0,12 = 1,8 (m).

Vậy ngôi sao đó ở độ cao 1,8 mét so với mặt đất.

Bài tập (trang 56)

Bài 3.13 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Cho parabol có phương trình y² = 12x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5.

Lời giải:

Có 2p = 12 ⇒ p = 6 ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.

Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là

MF = x + $\frac{p}{2}=5+\frac{6}{2}=8.$

Bài 3.14 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm $M(3;3\sqrt{2})$. Tìm bán kính qua tiêu và khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P).

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

Theo đề bài, (P) đi qua điểm $M(3;3\sqrt{2})\Rightarrow {\left(3\sqrt{2}\right)}^2=2p.3\Rightarrow p=3.$ 

Bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) là MF = x + $\frac{p}{2}$ = x + $\frac{3}{2}$

Khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn của (P) là p = 3.

Bài 3.15 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Xét đèn có bát đáy parabol với kích thước được thể hiện trên Hinh 3.20.

 

Dây tóc bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm. Tính khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy.

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh bát đáy và trục Ox đi qua dây tóc (tiêu điểm).

Giả sử phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

Theo hình vẽ, khi x = 20 thì y = 15 hoặc y = –15, do đó 15² = 2p.20 ⇒ p = 5,625.

Khoảng cách từ dây tóc tới đỉnh bát đáy là $\frac{p}{2}=\frac{5,625}{2}=2,815$ (cm).

Bài 3.16 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Anten vệ tinh parabol ở Hình 3.21 có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng enten là 240 cm, khoảng cách từ vị tri đặt đầu thu tới miệng anten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten.

 

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh anten và trục Ox đi qua đầu thu.

Giả sử phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).

Theo hình vẽ, khi x = p + 130 thì y = 120 hoặc y = –120, do đó 120² = 2p( $\frac{p}{2}$ + 130) ⇒ p ≈ 46,92.

Khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten là $\frac{p}{2}\approx \frac{46,92}{2}=23,26$ (cm).